Cтраница 1
Доказательство случаев б) и в) аналогично. [1]
Доказательство случая, когда А - конечное множество предоставляем провести читателю самостоятельно. [2]
Доказательство случая 3) и теоремы 4 закончено. [3]
Доказательство случая равенства мы опускаем. [4]
Доказательство гомологического случая оставляется читателю. [5]
Повторяя доказательство случая б), убеждаемся, что при V, 0 положение равновесия неустойчиво. [6]
В своем доказательстве целочисленного случая Кениг вновь рассматривает соответствующий двудольный граф и приходит к выводу, что матрица является дважды стохастической тогда и только тогда, когда этот двудольный граф регулярный. В своих двух работах 1916 г. Кениг доказал также, что каждый двудольный регулярный граф степени k является объединением k непересекающихся совершенных паросочетаний. Легко заметить - но эти результаты строго доказаны - что любая дважды стохастическая матрица с неотрицательными элементами должна быть выпуклой суммой матриц подстановок. Изложенный в этих терминах данный результат независимо переоткрыли спустя сорок лет Биркгоф ( 1946) и фон Нейман ( 1953), и теперь он известен как теорема Биркгофа - фон Неймана. [7]
Второй из двух рассмотренных в доказательстве случаев действительно встречается. Это показывает пример 4 в главе 1, где рассматривается транзитивная группа на семи буквах, которая, следовательно, примитивна. Она обладает транзитивной подгруппой на четырех буквах С, Et F, G и дважды, но не трижды, транзитивна. [8]
Дине [1], 391; приведенное здесь доказательство случаев ( II), ( III) и ( IV) принадлежит Вермсу. [9]
Приведем теперь свойство ( Т), которое входит в доказательство случая п 1 ( ср. Пусть Е - грань графа GP, гомеоморфная диску. Этот диск касается вершины v графа, следуя вдоль интервала, соединяющего инцидентные точки с последовательными метками. [10]
Утверждение, аналогичное лемме, справедливо и для криволинейных интегралов в пространстве, причем доказательство пространственного случая проводится по той же схеме, что и плоского. [11]
Утверждение, аналогичное лемме, справедливо и для криволинейных интегралов в пространстве, причем доказательство пространственного случая проводится по той же схеме, что и для плоского. [12]
Равносильность утверждений ( ii) и ( iv) - это формальная подготовительная теорема, которая получается в качестве побочного результата при доказательстве вещественного случая. [13]
Можно было бы привести еще ряд рассуждений подобного рода, но вряд ли они добавят что-либо новое, поэтому ограничимся сказанным в отношении доказательств конечных случаев. [14]
Даже отдачу от масштаба, по-видимому, путают с эффектом размера выпуска. Предполагается, что существенная часть приводимых в качестве доказательства случаев возрастания отдачи от масштаба в отраслях промышленности или фирмах является результатом игнорирования отношения затрат к объему ( скорее, чем к уровню) выпуска продукции. Наш недавний анализ расходов в производстве автомобилей и в печатном деле ясно показывает, каким образом может возникнуть указанная путаница. [15]