Cтраница 2
Однако впоследствии при S 8 они получили доказательство, опирающееся лишь на результаты из обычной теории характеров ( их доказательство воспроизведено в гл. При этом он использовал значительно более тонкое рассуждение, нежели в случае S 8 или в доказательстве случая S 8 при помощи модулярной теории характеров. С другой стороны, все известные доказательства 2 -теоремы опираются на модулярную теорию характеров. [16]
Если / тождественно равна оо, нижняя грань, очевидно, достигается во всех точках С. Если / не равна тождественно то / - замкнутая собственная выпуклая функция, направления рецессии которой суть общие направления рецессии h и С. По теореме 27.2 / достигает нижней грани, когда таких направлений нет. Этим завершается доказательство неполиэдрального случая. Если же С - полиэдральное множество, то доказательство нуждается в иной аргументации. [17]
Предположим, что группа Л нетривиальна. Ее сопряжение с помощью каждого элемента из Г определяет некоторый ее автоморфизм. По лемме 2.10 централизатор любого нетривиального элемента в PSL ( 2, R) всегда абелев, поэтому и группа Л абелева, а поскольку она дискретна и не имеет кручения, она должна быть бесконечной циклической. Поэтому в Г существует коммутирующая с Л подгруппа Ti индекса, не превосходящего двух. Та же лемма 2.10 показывает теперь, что группа Т абелева. Если FI состоит из гиперболических изометрий, то существует единственная геодезическая / в Я2, инвариантная относительно действия группы Гь Мы видим, что если через GI обозначить подгруппу в G, соответствующую подгруппе Г ], то плоскость / XRciH2XR инвариантна относительно GI. Так как эта плоскость изометрична эвклидовой плоскости и группа GJ действует на ней дискретно, то эта группа изоморфна Z или Z X Z. Если же группа FI состоит из параболических изометрий, то относительно нее инвариантен каждый орицикл в Я2 с центром в неподвижной точке группы IY [ Напомним, что ( для модели Я2 в верхней полуплоскости) если принять, что неподвижной точкой группы ГЛ является оо, то FI состоит из горизонтальных сдвигов и поэтому оставляет на месте каждую прямую у const. Эти прямые и являются орициклами. Это завершает доказательство случая ( Hi) теоремы, когда группа Л нетривиальна. [18]