Cтраница 2
Впервые доказательство существования решения задачи Дирихле методом конечных разностей было дано Л. А. Люстерни-ком [1] в 1924 г. Это доказательство проведено для двумерного случая; его распространение на случай большего числа измерений вызывает некоторые трудности. Второе доказательство существования решения задачи Дирихле методом конечных разностей было проведено Курантом, Фридрихсом и Леви [2] для случая любого числа измерений. Но эти авторы рассматривали только такие области, которые ограничены конечным числом дуг или поверхностей с непрерывно вращающейся касательной; притом они показали только, что построенная ими гармоническая функция принимает заданные на границе значения в среднем. Цель настоящей заметки - провести доказательство существования решения задачи Дирихле методом конечных разностей, свободное от этих недостатков. [16]
Таким путем доказательство существования решения задачи Трикоми сводится к решению сингулярного интегрального уравнения относительно функции v ( х), разрешимость которого следует из теоремы единственности. [17]
Если принять это положение, то можно доказать 1, что минимизирующая интеграл Дирихле функция обязательно будет гармонической в области V, что и будет служить доказательством существования решения задачи Дирихле. ВеЙер-штрасс показал, однако, что изложенная вариационная задача может и не иметь решения и поэтому приведенные выше соображения не являются доказательством существования решения задачи Дирихле. [18]
Впервые доказательство существования решения задачи Дирихле методом конечных разностей было дано Л. А. Люстерни-ком [1] в 1924 г. Это доказательство проведено для двумерного случая; его распространение на случай большего числа измерений вызывает некоторые трудности. Второе доказательство существования решения задачи Дирихле методом конечных разностей было проведено Курантом, Фридрихсом и Леви [2] для случая любого числа измерений. Но эти авторы рассматривали только такие области, которые ограничены конечным числом дуг или поверхностей с непрерывно вращающейся касательной; притом они показали только, что построенная ими гармоническая функция принимает заданные на границе значения в среднем. Цель настоящей заметки - провести доказательство существования решения задачи Дирихле методом конечных разностей, свободное от этих недостатков. [19]