Cтраница 2
Заполнение процесса от начала и до конца строгими математическими доказательствами переводит интуитивную догадку в логическое искомое решение проблемы. [16]
Ни одно из этих простых рассуждений, конечно, не приводит к строгому математическому доказательству существования этих решений. В предшествующем примере соответствующее условие заключалось в том, что начальная кривая не должна быть параллельной любой из двух осей: х или у. [17]
Для двумерного случая в настоящее время все уверены в существовании полной локализации, хотя строгое математическое доказательство этого утверждения не получено. [18]
Такие вопросы нельзя решать при помощи машин, ответы на них необходимо искать в строгих математических Доказательствах. [19]
Парадигма математики состоит в том, что истинным считается то, что выведено из аксиом и уже известного путем строгого математического доказательства. Математики ( включая студентов, изучающих математику) обычно прекрасно могут сказать, является ли данное рассуждение строгим математическим доказательством чего-то или нет. [20]
Аналитическими в рассматриваемой классификации названы методы, которые отображают реальные объекты и процессы в виде точек ( безразмерных в строгих математических доказательствах), совершающих какие-либо перемещения в пространстве или взаимодействующих между собой. Как правило, поведение точек описывается аналитическими выражениями, имеющими силу закона. [21]
Однако, без этой теоремы могло бы сложиться впечатление, что интуитивные понятия самоочевидность и смысл могли бы быть использованы только в самом начале раз и навсегда, просто чтобы изначально задать формальную систему, а затем мы могли бы отказаться от них при построении строгого математического доказательства для определения истины. [22]
Однако этот наш вывод построен на рассмотрении частного примера. Разумеется, он должен быть подтвержден строгим математическим доказательством. [23]
Приведенные выше соображения Вилкинсона образуют каркас стратегии Хельфера и Шестранда, позволяющий дать строгое математическое доказательство. Однако в этих соображениях негласно присутствуют две трудности: первая связана с контролем за ошибками в терминах эффективной постоянной Планка, вторая - с вычислением спектра вблизи сепаратрис. Вклад Хельфера и Шестранда состоит в заполнении этих лакуй. [24]
Парадигма математики состоит в том, что истинным считается то, что выведено из аксиом и уже известного путем строгого математического доказательства. Математики ( включая студентов, изучающих математику) обычно прекрасно могут сказать, является ли данное рассуждение строгим математическим доказательством чего-то или нет. [25]
Подобное утверждение кажется очевидным. Сколь Глубоко может лежать то, что представляется разумеющимся самим собой, если мы попытаемся подкрепить интуитивные представления строгими математическими доказательствами, видно из предыдущих рассуждений. [26]
Более того, древнегреческая математика была возможна исключительно как интерпретированная геометрически алгебра, поскольку еще не было алгебры или геометрии как отдельных самостоятельных областей математики, которые вырабатывали бы какую-то взаимную эвристику, что, в принципе, в целом характерно для математики. Но самое главное - не было никакого хоть сколько-нибудь осознанного представления ни о математической эвристике, ни о методе в математике вообще, так как отсутствовало даже осознанное понятие строгого математического доказательства, которое зачастую ограничивалось лишь более или менее точно выполненным рисунком. Поэтому, как здесь и отмечалось ранее, в древней математике велико было значение устной традиции, посредством которой транслировался неизбежный солидный практический пласт неявных элементов математики. Декарт: Касательно же фигур многое они ( древние греки - прим. [27]
Из двух точек пересечения прямой ОМ с гипоциссоидой одна всегда находится в дозвуковой области ( внутри круга радиуса аД другая - в сверхзвуковой. Эксперимент показывает, что из двух возможных режимов осуществляется именно выбранный нами. Строгого математического доказательства необходимости выбора сверхзвукового режима еще не имеется. [28]
В связи со всем этим я хотел бы еще упомянуть о часто цитируемой, чрезвычайно резкой критике знаменитого философа Шопенгауэра, направленной против математики, так как эта критика необычайно характерна для враждебности по отношению к нашей науке со стороны натур, более предрасположенных к искусству. Шопенгауэр считает цепь отдельных логических выводов, которую должно содержать строгое математическое доказательство, недостаточной и невыносимой. Он хочет сразу, так сказать, с одного взгляда, интуитивно убеждаться в истинности теоремы; это привело его к теории, согласно которой наряду с логическими дедукциями, исходящими из определенных предпосылок, существует якобы еще другой метод математических доказательств, который выводит математическую истину непосредственно из интуиции. С этой точки зрения он в своем главном произведении Мир как воля и представление, как и в других сочинениях, самым страстным образом принципиально осуждает всю евклидову систему; в особенности, евклидово доказательство пифагоровой теоремы служит предметом его нападок. [29]
Для тех операций над многомерными алгебраическими объектами, которые являются очевидными обобщениями операций над двухмерными и одномерными матрицами из области АСУ, легко отыскиваются аналоги обработки многомерных таблиц. Для ряда процедур линейной алгебры, таких, как умножение тензоров и многомерных матриц, отыскание собственных векторов и собственных значений матриц, вычисление определителей матриц и некоторых других, в области АСУ не удается найти аналоги операций над данными. Этот факт, по-видимому, отражает объективную закономерность и свидетельствует о том, что аппарат линейной алгебры является более общим и более широким, чем аппарат обработки данных в АСУ. Однако строгое математическое доказательство этого утверждения еще требует дополнительных исследований и не рассматривается в книге. [30]