Cтраница 2
Одним из наиболее эффективных методов при доказательстве существования решений нелинейных задач в секторе является метод верхних и нижних решений. Этот метод в сочетании с монотонным итеративным методом является гибким и эффективным механизмом для конструктивного доказательства теорем существования. Верхние и нижние решения, образующие сектор, служат границами для решений, которые могут быть улучшены применением монотонного итеративного метода. Более того, итеративные схемы полезны и при исследовании качественных свойств решений. В этом и последующих параграфах приведено систематическое изложение этих идей. [16]
Основу концептуального программирования составляет метод структурного синтеза программ, использующих две эквивалентные формы представления знаний о задачах: формальное представление; графовое представление в виде функционально-информационных сетей или ДИГ ( см. разд. При формальном представлении основными этапами формирования программы решения искомой задачи являются [86]: 1) формализация постановки решаемой задачи; 2) построение конструктивного доказательства существования решения задачи в некоторой формальной дедуктивной системе; 3) извлечение программы из полученного доказательства. [17]
Легко догадаться, что элементарные решения обладают свойством полноты в частичном интервале. Однако непосредственное доказательство, эффективное в случае одного уравнения, нельзя перенести на случай системы, ибо нельзя найти замкнутую форму для матрицы ( аналога функции Р ( и) в скалярном случае), играющей основную роль в аналитическом процессе решения. Невозможность конструктивного доказательства означает, что мы не можем точно решать задачи для полупространства. Но можно предложить простые приближенные методы, которые оказываются очень эффективными: можно аппроксимировать матричный аналог функции Р ( и) ( который является очень гладкой функцией для и 0) ( [10] гл. [18]
Пытаясь разобраться в том, кто оказал решающее влияние на Гильберта в годы его становления как ученого, поражаешься странно противоречивому характеру его отношения к Кронекеру: испытывая влияние Кроне-кера, Гильберт восстает против него. Но почтенный старец из Берлина, как казалось Гильберту, использовал свою власть и свой авторитет лишь для того, чтобы удерживать математику в прокрустовом ложе категорических философских принципов и подавлять те направления, которые не согласуются с ними: Кро-некер настаивал на конструктивных доказательствах теорем существования в терминах целых чисел, в то время как Гильберт одним из первых выступил в защиту общих теоретико-множественных идей Георга Кантора. Запоздалое эхо старой вражды слышится в полемическом выпаде против интуиционизма Брауэра, которым шестидесятилетний Гильберт начинает свою первую статью о новом обосновании математики ( Neubegrundung der Mathema-tik, 1922); разящие удары Гильберта нацелены против призрака Кронекера, который, казалось, восстал из могилы. Но противоречивость и неоднозначность проявляется и здесь: борясь с Кронекером, Гильберт следует за ним; рассуждая со строго интуиционистских позиций, он в то же время считает необходимым оберегать неинтуиционистскую математику. [19]
Рассмотрим подробнее, сколько ненулевых элементов вводится при исключении. Верхняя треугольная матрица определяется аналогично. Пусть А - симметричная, положительна определенная матрица. С точностью до знака ее столбцов матрица М единственна. Можно получить конструктивное доказательство этой теоремы, аналогичное доказательству свойства (21.8), приведенному ниже. [20]