Cтраница 2
Упражнение 10.7. Пусть Q - выпуклая замкнутая область, Г0 - внутренняя ее точка, А с C ( Q) - конус неотрицательных функций, К, с К. [16]
Конус неотрицательных функций в пространствах С и Lp ( I р оо) не допускает оштукатуривания. Конус неотрицательных функций в пространстве L допускает оштукатуривание. [17]
Конусы неотрицательных функций в пространствах О и Lp несплющены. Класс несплющенных конусов совпадает с классом воспроизводящих конусов. [18]
Поэтому оператор (7.63) оставляет инвариантным конус неотрицательных функций. [19]
Как оказалось ( П. П. Забрейко), такая теория может быть построена для пространств, в которых конус неотрицательных функций нормальный в смысле М. Г. Крейна, воспроизводящий и сильно миниедральный. [20]
В этой теореме к положительному оператору А не предъявлены дополнительные требования. Однако требования, предъявленные к пространству и конусу, весьма ограничительны, ибо, как правило, либо конусы неотрицательных функций в обычных функциональных пространствах не допускают оштукатуривания, либо единичный шар в этих пространствах не обладает слабой компактностью. Заметим, что все условия теоремы 2.7 выполнены, если пространство Е конечномерно. [21]
Конусные отрезки v0, ОУО могут быть неограниченными по норме множествами. Если эти отрезки ограничены по норме при любых u0l w0, то конус / ( называют нормальным. Конус неотрицательных функций в пространствах С и LP нормален. Если из 0 xi-z / вытекает неравенство i. M r / j, где М - постоянная, то конус нормальный. [22]
Аиализ фазового портрета уравнения (7.170) показывает, что оно имеет единственное нетривиальное неотрицательное решение и в случае, когда / ( м) ( / ( 0) 0) выпукла. Иначе говоря, интегральное уравнение (7.171) с выпуклой функцией / ( и) имеет единственное нетривиальное решение в конусе неотрицательных функций. Какими общими свойствами выпуклого оператора, определенного правой частью уравнения, вызвана в этом случае единственность. Этот вопрос не исследован. [23]
Конус К называется правильным, если каждая ограниченная монотонная последовательность сходится по норме. Он называется вполне правильным, если каждая ограниченная по норме монотонная последовательность сходится по норме. Каждый вполне правильный конус правильный. Конус неотрицательных функций в пространстве L ( р 1) вполне правильный. [24]
Конус называется телесным, если содержит внутренние точки. В функциональных пространствах С и Lp конусами являются совокупности неотрицательных функций. Легко видеть, что конус неотрицательных функций в пространстве С телесен, а в пространстве L - нетелесен. [25]