Cтраница 1
Классификационное доказательство нуждается также в аналогичных характеризациях стандартными формами групп типа Ли и знакопеременных групп. Однако обсуждение необходимых результатов мы тоже отложим до следующей книги. [1]
Первый основной шаг в классификационном доказательстве состоит в нахождении всех несвязных простых групп; тем самым задача классификации сводится к связному случаю. Значение связности - в том, что при ее наличии удается воспользоваться некоторыми общими рассуждениями, позволяющими сделать сильные выводы о строении ядер централизаторов инволюций в простых группах. [2]
Мы попытались изнутри объяснить, почему классификационное доказательство имеет огромный объем. [3]
Оно не обладает какими-либо магическими свойствами вне классификационного доказательства. Лишь после завершения классификации становится ясно, что 26 обозначает в точности число исключительных простых групп. [4]
Тем самым был сделан один из завершающих шагов классификационного доказательства. [5]
Приводимый мною очерк предназначен служить своеобразным историческим резюме исходного классификационного доказательства. [6]
За последние несколько лет распространилось мнение, что завершение классификационного доказательства в некотором смысле будет означать конец самой теории конечных групп. [7]
Прежде чем завершить настоящее введение, следует отметить одну особенность классификационного доказательства. Известно, что многие статьи о простых группах содержат значительное число локальных ошибок. Это объясняется тем, что, по-видимому, выше человеческих возможностей провести с абсолютной точностью строго обоснованное рассуждение, занимающее несколько сотен страниц. Однако никакие объяснения не могут устранить сомнения в справедливости этого доказательства. [8]
Из-за непомерной длины статей и специализированных методов, развитых для изучения простых групп, классификационное доказательство остается недоступным для тех, кто не владеет достаточно свободно теорией конечных групп. Причем это происходит не из-за отсутствия интереса: в действительности многие математики достаточно внимательно следили за исследованиями в этой области, особенно за теми из них, которые связаны со спорадическими группами и группами типа Ли. [9]
Я надеюсь, что изложенный здесь материал, который можно рассматривать как подготовительный для самого классификационного доказательства, послужит читателю стимулом к изучению более детального очерка, которому будут посвящены следующие книги. Однако настоящая книга и сама по себе позволяет достаточно глубоко заглянуть в теорию простых групп. [10]
Таким образом, локальные ошибки, по всей видимости, будут исправлены в рамках более широкой задачи ревизии имеющегося классификационного доказательства в попытке добраться до его сути. Однако лишь в последнее время, учитывая близость завершения классификационного доказательства, специалисты в области конечных групп начали систематически рассматривать пути глобальной проверки. [11]
Безусловно, поскольку теперь классификация завершена, то разница между понятиями конечной группы и / ( - группы исчезла. Однако для обсуждения самого классификационного доказательства, очевидно, предпочтительней разделить эти два понятия. [12]
Для наглядности решено было общее изложение разбить на две части. В настоящей книге приводится общая картина классификационного доказательства ( гл. Содержание книги представляет собой пересмотренный и значительно расширенный вариант моей статьи из январского ( 1979 г.) выпуска журнала Bulletin of the American Mathematical Society [132], посвященного памяти Брауэра. [13]
Теория дважды транзитивных групп перестановок представляет собой одну из наиболее красивых и глубоких глав теории конечных простых групп. Поэтому дважды транзитивные группы играют фундаментальную роль в классификационном доказательстве. Хотя их изучение не позволило обнаружить новые спорадические группы ( за исключением, конечно, известных ранее групп Матье), волнение, вызванное открытием Судзуки целого семейства таких новых простых групп, было-очень похоже на то, которое сопровождало рождение любой спорадической группы. В самом деле, вплоть до того момента, когда Ри показал, что группы Судзуки допускают интерпретацию в рамках лиевской теории, их самих рассматривали как семейство спорадических групп. [14]
Таким образом, локальные ошибки, по всей видимости, будут исправлены в рамках более широкой задачи ревизии имеющегося классификационного доказательства в попытке добраться до его сути. Однако лишь в последнее время, учитывая близость завершения классификационного доказательства, специалисты в области конечных групп начали систематически рассматривать пути глобальной проверки. [15]