Cтраница 1
Рецессивный конус называют еще иногда асимптотическим конусом С. Нам это название не нравится, ибо оно не согласуется с обычным значением слов асимптота, асимптотический и ведет к неверным представлениям. [1]
Рецессивный конус для / 3 есть неположительный ортант в Л 1, в то время как константное подпространство состоит лишь из одного нуля. [2]
Рецессивный конус множества С есть замкнутый выпуклый конус, а поскольку О G С, он является в силу следствия 8.3.2 наибольшим из таких конусов, содержащихся в множестве С. [3]
Рецессивный конус множества Z7 есть 0 ( Z7) - 0 ( г) ПДЧ Далее, [ 0 ( Z) ПЙ ] 0 ( П) sQ ( Z) Поэтому из ( 3) следует, что линейная функция р, вдоль любого направления из 0 ( Z7) строго убывает. [4]
Рецессивный конус пересечения Lu f ] П graph Л совпадает с рецессивным конусом пересечения L0 П П graph Л при всяком и ( следствие 8.3.3), а последний, очевидно, равен ЛО. [5]
Ниже с помощью теории рецессивных конусов мы получим простые условия, при которых сохраняется замкнутость при различных операциях. [6]
Если Z замкнуто, то его рецессивный конус замкнут. Известно, что непустое выпуклое замкнутое множество ограничено тогда и только тогда, когда его рецессивный конус совпадает с началом координат. [7]
U Cm) замкнуто и К является его рецессивным конусом. [8]
Следствие 14.2.1. Поляра барьерного конуса непустого замкнутого выпуклого множества С есть рецессивный конус множества С. [9]
Рецессивный конус пересечения Lu f ] П graph Л совпадает с рецессивным конусом пересечения L0 П П graph Л при всяком и ( следствие 8.3.3), а последний, очевидно, равен ЛО. [10]
Если А - замкнутый выпуклый процесс, то при всех и 6 dom Л множества Аи замкнуты и имеют один и тот же рецессивный конус, именно - ЛО. [11]
Поскольку при всяком и 6 ri С эффективное множество функции К ( и, ) совпадает с D, последнее условие означает, что w принадлежит рецессивному конусу функции / С ( и, ) при всяком и 6 ri С. Доказательство оставшейся части следствия аналогично. [12]
Рецессивный конус 0 С есть выпуклый конус, содержащий начало координат. Он совпадает с множеством тех векторов у, для которых С У с С. [13]
Теорема 14.6. Пусть С и С - множество и его поляра, причем каждое из них выпукло, замкнуто и содержит начало координат. Тогда рецессивный конус множества С и замыкание выпуклого конуса, порожденного полярой С, являются полярными друг к другу. Линейное подмножество множества С и подпространство, порожденное полярой С, являются ортогональными дополнениями друг друга. [14]
Это выполняется, в частности, тогда, когда / является конечным множеством и cl ( dom / г) С для любого i. В последнем случае опорные функции множеств dom ft, являющиеся рецессивными конусами функций ДО4 ( теорема 13.3), совпадают с б ( С), откуда в силу следствия 9.8.3 conv / i 6 / является замкнутым множеством и задается описанной формулой с нижней гранью. [15]