Cтраница 2
Это выпуклый конус, содержащий начало координат и замкнутый, если / замкнута. Как это подсказывается теоремой 8.6, направления, соответствующие векторам из рецессивного конуса /, разумно назвать рецессивными направлениями. [16]
Если Z замкнуто, то его рецессивный конус замкнут. Известно, что непустое выпуклое замкнутое множество ограничено тогда и только тогда, когда его рецессивный конус совпадает с началом координат. [17]
Обозначим это объединение через К - Выпуклый конус, порожденный множеством С, содержится в / С, а его замыкание К в свою очередь содержит К. Поскольку К - замкнутое выпуклое множество, содержащее С и О, / С должно содержать рецессивный конус 0 С по теореме 8.3.) Итак, cl К. Отсюда следует, что К - конечнопорожденное, а значит, полиэдральное множество. [18]
Применим следствие 9.8.1, положив С, epi /, / ( - - epi &. Выпуклая оболочка С множества Сг есть непустое замкнутое выпуклое множество в Dln 1, и поскольку / С есть его рецессивный конус, оно должно быть надграфиком некоторой замкнутой собственной выпуклой функции. [19]
Мы скажем, что С удаляется в бесконечность 1) по направлению D или что D есть рецессивное направление для С, если С содержит все лучи с направлением D, начинающимся в любой точке из С. Рецессивный конус будет обозначаться через 0 С; причину для такого обозначения мы объясним чуть позже. [20]
Рецессивный конус О С также полиэдрален. [21]