Cтраница 3
Неймана гораздо более трудной, чем соответствующие коэрцитивные задачи. Основная трудность возникает при доказательстве гладкости решений на границе. Доказательство гладкости в [4] весьма сложно. В этой работе мы также предлагаем более простое доказательство, которое приводит к одной весьма общей теореме для эллиптических уравнений ( теорема 5, § 2); соответствующее утверждение для - задачи Неймана является очень специальным случаем этой теоремы. Мы также распространяем наш метод на некоторый класс неэллиптических краевых задач и доказываем существование решений, гладких вплоть до границы. Однако при этом предполагается, что граница нигде не является характеристической. [31]
Следует отметить, что все излагаемые в этой главе факты либо вытекают из принципа максимума, либо так пли иначе связаны с ним. Таким образом, принцип максимума является основным стержневым результатом, вокруг которого группируются все факты теории линейных оптимальных процессов. Общее доказательство принципа максимума весьма не просто; это доказательство изложено в третьей главе. В настоящей же главе мы приведем значительно более простое доказательство принципа максимума для случая линейных задач оптимального управления, представляющих значительный интерес в теории и приложениях. [32]
Как явствует из заглавия, здесь рассматриваются лишь дискретные системы без памяти; другими словами, наши математические модели относятся к независимым случайным величинам с конечной областью значений. Несмотря на то что эти модели с точки зрения большинства приложений идеализированы, их изучение раскрывает характерные черты теории информации, причем читателю не приходится вдаваться в технические подробности, необходимые в более сложных случаях. Фактически от него не требуется ничего, кроме владения элементами теории вероятностей и достаточной математической культуры. По сравнению с другими подходами он часто приводит к более сильным результатам и в то же время к более простым доказательствам. Представляется также, что этот комбинаторный подход дает и более глубокое понимание существа дела. [33]