Cтраница 2
Займемся прежде всего выяснением вопроса о том, при каких условиях функция f ( f), определенная формулой ( 55), является оригиналом, а затем уже наметим доказательство того, что F ( р) является ее изображением, ( Полное доказательство теоремы требует значительно больших сведений из анализа и выходит за рамки настоящей книги. [16]
Чтобы подчеркнуть исключительную важность этой теоремы, отметим, что из нее фактически следует существование алгоритмической классификации узлов и зацеплений как в сфере 53, так и в других неприводимых многообразиях. Полное доказательство теоремы так и не было опубликовано. Даже в специально посвященной этому вопросу книге [9] решающие моменты изложены не строго. Предпринятое автором расследование показало следующее. [17]
Полное доказательство теоремы 8.17 может быть получено с помощью варьирования используемых пробных функций. [18]
Здесь LR ( S, а) - вещественное векторное пространство ( классов эквивалентности) вещественных а-интегри-руемых функций на S с обычной нормой, частично упорядоченное следующим соглашением: / g тогда и только тогда, когда / g почти всюду для некоторой ( и, следовательно, для всякой) функции f ( соотв. Случай, когда Е обладает / единицей, рассмотрен в статье Какутани [5], тогда как более общая теорема приведена в статье Какутани [6] как относительно простое обобщение частного случая. Полное доказательство теоремы довольно длинно, и мы не будем приводить его здесь. [19]
Теорема 1 представляет собой частный случай известной теоремы Ляпунова. Это очень глубокий математический результат, который широко применяют в современной математике. Полное доказательство теоремы Ляпунова опирается на большое количество вспомогательных фактов ( см. разделы Д4 - Д6 дополнений) и приведено в разделе Д7 дополнений. [20]