Cтраница 3
Тут мы сталкиваемся с серьезным вопросом: можем ли мы быть уверены в точности нашей формальной системы, моделирующей какую-либо область математики, в особенности, если мы еще не изучили данную часть математики вдоль и поперек. Предположим, что цель формальных систем - дать нам новые знания по данной дисциплине. Каким образом мы узнаем, что интерпретация каждой теоремы истинна. Для этого пришлось бы доказать, что между формальной системой и данной частью математики существует полный изоморфизм. С другой стороны, подобное доказательство возможно только в том случае, если нам с самого начала уже известны все истинные утверждения данной дисциплины. [31]
В 1919 г. была опубликована мало известная биологам работа Значение гельминтологии для выяснения родства человека с антропоморфными обезьянами. По своему содержанию она перекликается с упомянутой выше работой 1911 г. о значении гельминтологии для выяснения филогенетического родства различных отрядов птиц. Дарвина из его труда о происхождении человека о том, что человек иногда заражается паразитами, принадлежащими к тем же родам и семействам, что и паразиты животных. Но Дарвин не привел примеров, иллюстрирующих это положение. Гельминтология располагает подобными доказательствами, свидетельствующими о родстве человека и антропоморфных обезьян. [32]
На этом законе основана математическая процедура доказательства от противного, упомянутая на с. Но интуиционисты считают допустимым отвергать справедливость этого закона. Основная причина здесь в том, что они занимают иную позицию по отношению к понятию существования, требуя, чтобы перед признанием существования математического объекта предъявлялось его конкретное ( мысленное) построение. То есть, для интуиционалиста существование означает конструктивное существование. В математическом доказательстве, использующем принцип доказательства от противного, сперва выдвигается некая гипотеза, ложность которой затем устанавливается путем обнаружения противоречий, к которым приводят следствия из этой гипотезы. Эта гипотеза может принимать форму утверждения о том, что математический объект с требуемыми свойствами не существует. Когда это приводит к противоречию, то в обычной математике делается вывод о том, что данный объект да, существует. Но подобное доказательство, само по себе, не содержит руководства для построения такого объекта. Такое существование для интуициониста существованием отнюдь не является; и именно на этом основании они отказываются признавать закон исключенного третьего и процедуру доказательства от противного. [33]
Ьмъ не мен - fee глубоко укоренившагося, принципа противъ всякихъ попытокъ подвинуть хоть на шагъ впередъ учете о безконеч-номъ. Что это допущете основывается на оши-бочномъ заключенш, это можно доказать слЬдующимъ образомъ. Если, скажемъ, М М - [ - М, то утвержде-те, что множеству М присуще то же самое количественное число, какъ и множеств 7 М, равносильно по № 1 положент: множества М и М входятъ въ одно общее понятзе, полученное путемъ абстрагировашя отъ состава и порядка ихъ элементовъ. Но съ какихъ поръ стали признавать за противор е то, что составная часть изв - Ьстнаго ц - Ьлаго входитъ, въ н - Ькоторомъ отношенш, въ одно и то же universale, что и само ц - Ьлое. Можетъ-быть, отв - Ьтятъ на это, что вообще допустимо, чтобы ц - Ьлое и его составная часть входили въ одно и то же universale, но что зд - Ьсь д - Ьло идетъ объ особаго рода общихъ поня-т. Но тогда, думаю я, сл Ь - довало бы доказать, что числа въ разсматриваемомъ отношенш составляютъ исключеше. Возможно, что кое-кто попытается представить подобное доказательство. [34]