Cтраница 3
Ассоциативность композиции преобразований вида ( 10) следует из ассоциативности умножения матриц. При / 3 0 матрица ( 11) является единичной матрицей, соответствующей тождественному преобразованию, которое играет роль единицы группы. [31]
Вместо того, чтобы перемножать две матрицы, мы пользуемся ассоциативностью умножения и сводим вычисление к двукратному умножению матрицы на вектор, что примерно в п раз быстрее. Умножение на W слева выполняется аналогично. Заметим, что если матрица А эрмитова, то возможна дополнительная экономия: тогда Б2 Вз и 54 В, так что клетку В2 можно вообще не вычислять, а в клетке В4 достаточно найти только нижнюю половину элементов. [32]
С другой стороны, произвольный выбор структурных констант не всегда обеспечивает ассоциативность умножения и существование единицы. Кроме того, различные наборы структурных констант могут приводить к изоморфным алгебрам. [33]
Так как линейное преобразование переменных определяется своей матрицей, то из ассоциативности умножения матриц следует ассоциативность умножения линейных преобразований переменных. [34]
Естественные и важные алгебраические системы, обладающие всеми свойствами колец, за исключением ассоциативности умножения, возникли очень давно, хотя и не сразу стала ясной алгебраическая природа этих объектов. [35]
Так как линейное преобразование переменных определяется своей матрицей, то из ассоциативности умножения матриц следует ассоциативность умножения линейных преобразований переменных. [36]
Опустив в этом определении требование 10 о существовании частного и требований 7, 8 коммутативности и ассоциативности умножения, получим определение понятия кольца - одного из важнейших понятий современной алгебры. [37]
Предложения, доказанные для двух сомножителей, распространяются немедленно на любое конечное число сомножителей в силу ассоциативности умножения и сложения. [38]
Ряд работ А. К. С у ш к е в и ч а посвящен дальнейшим обобщениям понятия группы: сохраняя ассоциативность умножения, А. К. С у ш к е-рич отбрасывает требование однозначности обратной операции или же охраняет его лишь с одной стороны, иногда дополняя требованием выпол - шимости обратной операции с другой стороны. Мы отметим лишь, что, помимо общих свойств этих алгебраических систем, А. К. Сушкевич рас - 5й атривает их изоморфные представления обобщенными подстановками и вырожденными матрицами, а также строит некоторые примеры таких систем из бесконечных матриц; в работе М. Р. Войдиславско-го [1] аналогичные примеры строятся при помощи однозначных функций с суперпозицией функций в качестве умножения. [39]
Мы получим ассоциативное кольцо - очевидно, что это будет абелева группа по сложению, а проверка ассоциативности умножения и законов дистрибутивности хотя и громоздка, но не представляет никаких принципиальных трудностей. [40]
Мы получим ассоциативное кольцо - очевидно, что это будет абелева группа ло сложению, а проверка ассоциативности умножения и законов дистрибутивности хотя и громоздка, но не представляет никаких принципиальных трудностей. [41]
Тот факт, что PR является гомоморфизмом S1 в 0.7 - r ( R), есть следствие ассоциативности умножения. [42]
После того, как объяснены символы uabc, можно определить произведение двух базисных элементов снова с помощью ( 6) и доказать ассоциативность умножения. Если форма Q нулевая, то алгебра Клиффорда становится грассмановой алгеброй. [43]
Из ассоциативности умножения вектора на число ( аксиома 6 векторного пространства) вытекает, что для любых трех матриц А, В, С, среди которых одна является векторной; закон ассоциативности умножения ( 3) остается верным. При перемножении таких матриц, очевидно, остается в силе закон ( 7 транспонирования произведения. [44]
Нетрудно проверить, что если слово и получается из v элементарным сокращением, то слово uv также получается из слова uv элементарным сокращением, и что если слово и получается из слова и элементарным сокращением, то слово u v также получается из слова uv элементарным сокращением. Ассоциативность полученного умножения в F ( di) следует непосредственно из ассоциативности умножения в W ( Л) класс эквивалентности [1] является одновременно правой и левой единицей. Следовательно, Р [ Л ] получает от W ( A) также и структуру полугруппы. Однако в F [ A ] каждый элемент имеет также и обратный: обратный элемент [ и ] - для класса [ и ] представляется словом и, которое получается из слова и написанием всех слогов в обратном порядке и изменением знака показателя у каждого из слогов на обратный. Заметим, что мы допускаем и пустой алфавит. Соответствующая ему свободная группа тривиальна. Свободная группа над алфавитом, состоящим ровно из одной буквы, является бесконечной циклической группой. Абстрактное понятие свободной группы будет дано в следующем параграфе, где будет показано, что группа Р А действительно свободна. Термин свободная группа над алфавитом А предвосхищает этот результат. [45]