Cтраница 2
В этой главе изучаются два полезных типа пределов ( и копределов): фильтрованные пределы, т.е. пределы по направленным пред-порядкам ( и, в более общем случае, по определенным фильтрованным категориям), и концы, которые порождаются определенными бифункторами и в некотором смысле ведут себя подобно интегралам. [16]
ТОЧНЫЙ ФУНКТОР - функтор, перестановочный с нек-рыми пределами и копределами. А именно, функтор F: 91 - - S3 между абелевыми категориями 91 и 58 наз. [17]
Покажите, что если пространство Y хаусдорфово, то KY является копределом ( в Haus) его компактных подпространств, упорядоченных по включению. [18]
Это означает, что конечные пределы в категории Set коммутируют с фильтрованными копределами. [19]
Нд ( Х) Н ( А, X) перестановочен с копределами ( прямыми пределами) направленных семейств мономорфизмов. Свойство в) часто принимается за определение конечно порожденного объекта произвольной категории. [20]
Мы будем предполо-гать, что читатель знаком с категорными понятиями предела ( обратного предела) и копредела ( прямого предела), как это изложено в [ 8, стр. [21]
Таким образом, левое расширение Кана можно представить двояко: по формуле ( 1) как ко-конец, а по формуле (3.10) как копредел. Эти формулы тесно связаны и в действительности дают два способа представления одной и той же информации о копределах ( см. ниже упр. [22]
Рассмотрим диаграмму алгебр / в предмногообразий К. В частности, копредел не зависит от того, внутри какого предмногообразия он вычисляется. Предел диаграммы существенно зависит от того, внутри какого предмногообразия он находится. Предположим, что L - предмногообразие алгебр, содержащее К, и / - диаграмма алгебр в К. [23]
Категория К называется полной, если в ней каждая диаграмма имеет предел. Если каждая диаграмма в К имеет копредел, то К называется кополной. Категория называется конечно пол-ной, если в ней каждая конечная диаграмма имеет предел. Двойственно определяем конечную кополноту. [24]
Таким образом, левое расширение Кана можно представить двояко: по формуле ( 1) как ко-конец, а по формуле (3.10) как копредел. Эти формулы тесно связаны и в действительности дают два способа представления одной и той же информации о копределах ( см. ниже упр. [25]
Функтор, сопряженный cjjena к данному функтору, определен однозначно с точностью до изоморфизма функторов. Сопряженный слева функтор унивалентен тогда и только тогда, когда единица сопряжения состоит из мономорфизмов. Он перестановочен с копределами и переводит нулевые объекты и нулевые морфизмы в нулевые объекты и нулевые мор-физмы соответственно. [26]
Универсальные стрелки единственны лишь с точностью до изоморфизма; возможно, именно из-за отсутствия абсолютной единственности это понятие формировалось медленно. Примеры существовали в течение долгого времени; решительный шаг был сделан в работе ( Samuel [1948]), где действительно сформулировано общее понятие универсальной стрелки; затем Бурбаки придали этому общему понятию широкую известность. С другой стороны, понятия предела и копредела имеют долгую историю в виде разнообразных конкретных примеров. Так, копределы применялись при доказательстве теорем о представлении бесконечных абелевых групп в виде объединения их конечно порожденных подгрупп. Пределы ( по упорядоченным множествам) появляются в теории р-адических чисел Гензеля и при построении гомологии и когомологии Чеха посредством предельных процессов, формализованных Понтрягиным. [27]
С учетом условий 1) и 2) существование ядер ( условие 3)) влечет существование всех конечных пределов. Действительно, уравнитель пары f g: a b можно получить как ядро разности / - д, конечные произведения существуют в силу 1) и 2), а наличие конечных произведений и уравнителей гарантирует существование всех конечных пределов. Двойственно, существование коядер влечет существование всех конечных копределов. [28]
Точно так же можно интерпретировать объединения как частный случай копределов в Grp, Ab и других известных категориях. Возможно, теперь читатель захочет проверить факт, который мы вскоре докажем ( упр. J - малая категория, то любой функтор F: J - Set имеет копредел. [29]