Cтраница 2
Элементарные идеалы, определенные для любого конечного копредставления, являются обобщениями полиномов узла, которые мы определим в следующей главе для копредставлений групп узлов. Имеется несколько преимуществ введения идеалов раньше полиномов. Прежде всего, в то время как идеалы определяются для произвольного конечного копредставления группы, полиномы существуют и единственны только для более ограниченного класса групп, удовлетворяющих некоторым алгебраическим условиям. В следующей главе мы обсудим эти условия и покажем, что всякая группа ручного узла удовлетворяет им. [16]
Копредставление (3.1) группы узла называется копредставлением Виртингера, если всякий проход содержит только одно пересечение и каждый путь vt пересекается с проекциями переходов ровно в четырех точках. Эти два условия всегда можно выполнить, за исключением того случая, когда узел не имеет проходов. О том, что это естественные ограничения, свидетельствует тот факт, что исторически это Копредставление группы узла было одним из первых изученных, и оно, несомненно, наиболее часто встречается - в литературе. Копредставления клеверного листа и восьмерки, изучаемые в следующем параграфе, являются примерами его использования. [17]
Аналогично, чтобы доказать, что клеверный лист отличается от восьмерки, достаточно показать, что их группы неизоморфны. К сожалению, не существует общего приема решения вопроса, определяют или нет изоморфные группы два данных копредставления. Из теоремы Титце известно, что если две группы изоморфны, то их конечные копредставления связаны друг с другом операциями Титце. А нам нужен некий стандартный прием, позволяющий находить, исходя из копредставления группы, некоторые легко вычислимые алгебраические величины, одинаковые для изоморфных групп и называемые вследствие этого групповыми инвариантами. Это значит, что тип группы узла слишком сложен как инвариант, и, следовательно, мы должны перейти к более простым в обращении. Здесь, однако, есть опасность выплеснуть ребенка вместе с водой из ванны: при переходе к более простым инвариантам неизбежно теряется часть информации. [18]