Cтраница 2
Итак, если все четыре корня вещественны, то один из них положительный, а три отрицательные. [16]
При вещественных отрицательных значениях С оба корня вещественны и берутся с написанными здесь знаками. [17]
Поскольку определитель симметричен относительно главной диагонали, все его корни вещественны; число корней рав но числу принятых в расчет параметров ап. [18]
Приведенный выше многочлен /, у которого все 20 корней вещественны, помещается над той частью бифуркационного множества, где все корни вещественны - над самым внутренним карманом каспоида. Вуд-кока и Постона [20], иллюстрирует на примере А1 тот факт, что этот карман оказывается в типичном случае очень малым; из других картинок в той же книжке видно, что этот карман также и очень непрочный и имеет тенденцию совсем пропадать при изменении управляющих параметров. Значит, малое возмущение какого-либо коэффициента вполне может вывести / из этой области, при этом некоторые вещественные корни станут комплексными. Когда два вещественных корня сходятся и образуют комплексно-сопряженную пару, по меньшей мере один из них должен пройти больше половины начального расстояния между ними, поэтому можно ожидать, что смещения корней будут такого порядка величины. Но малость этой области означает, что и самих таких многочленов немного. Аналогичные замечания относятся и к высшим катастрофам от нескольких существенных переменных. [19]
При этом могут встретиться два случая: 1) все три корня вещественны; 2) вещественным является только один корень, а два других мнимые. [20]
Таким образом, первая часть доказательства устойчивости завершена: дрказано, что все корни вещественны. [21]
В первом случае, когда В положительно, мы видим только, что если корни вещественны, то они необходимо должны быть положительными; однако, пожалуй, было бы трудно доказать, что все они действительно должны быть вещественными; можно, однако, иным путем убедиться, что это должно быть именно так. [22]
Если Л1; К2 О, дискриминант трехчлена в квадратных скобках положителен, и, следовательно, его корни вещественны и различны. [23]
Приведенный выше многочлен /, у которого все 20 корней вещественны, помещается над той частью бифуркационного множества, где все корни вещественны - над самым внутренним карманом каспоида. Вуд-кока и Постона [20], иллюстрирует на примере А1 тот факт, что этот карман оказывается в типичном случае очень малым; из других картинок в той же книжке видно, что этот карман также и очень непрочный и имеет тенденцию совсем пропадать при изменении управляющих параметров. Значит, малое возмущение какого-либо коэффициента вполне может вывести / из этой области, при этом некоторые вещественные корни станут комплексными. Когда два вещественных корня сходятся и образуют комплексно-сопряженную пару, по меньшей мере один из них должен пройти больше половины начального расстояния между ними, поэтому можно ожидать, что смещения корней будут такого порядка величины. Но малость этой области означает, что и самих таких многочленов немного. Аналогичные замечания относятся и к высшим катастрофам от нескольких существенных переменных. [24]
Если L положительно, то характеристическое уравнение имеет два корня, вещественных или мнимых, сумма которых отрицательна, а произведение положительно. Если корни вещественны, то оба отрицательны, а если мнимы, то их вещественные части отрицательны. [25]
Все корни уравнения ( 10) простые, а их модули различны. Следовательно, все корни вещественны, так как коэффициенты уравнения ( 10) вещественны по предположению. [26]
При Л0, / корни вещественны и отрицательны. [27]
Характеристическое уравнение третьего порядка имеет три корня и три возможных варианта их распределения. В первом варианте все корни вещественны, во втором-при ближайшем к мнимой оси вещественном корне имеется пара сопряженных комплексных корней, в третьем - ближе к мнимой оси расположена пара комплексных корней. [28]
Заслуживают внимания результаты по установлению признаков монотонности и отсутствия перерегулирования в зависимости от характера расположения корней характеристического уравнения. Существенным является случай, когда все корни вещественны и отрицательны. [29]
Если Tiz4T02 или Ti2T0, корни окажутся комплексными и переходный процесс будет носить колебательный характер. Если же Г ] 2Г0, то корни вещественны и колебания отсутствуют. [30]