Cтраница 2
Пусть условия теоремы 4.1 видоизменены так, что n - k характеристических корней матрицы А, имевших положительные действительные части-имеют теперь неотрицательные действительные части. Показать, что заключения, теоремы 4.1 остаются в силе со следующим изменением: не существует решений р, не лежащих при t 1В на многообразии S и удовлетворяющих неравенствам МО. [16]
Известна еще классическая теорема о структуре конечной матрицы Л, заключающаяся в том, что если характеристические корни матрицы Л различные, то Л может быть выражена через эти корни и определенные идемпотентные матрицы, связанные с А. [17]
Теорема 1.1. Для того чтобы начало было устойчиво для системы (1.1), необходимой достаточно, чтобы характеристические корни действительной неособой матрицы коэффициентов А имели отрицательные или нуле-зые действительные части. [18]
Ясно, что числа а) можно выбрать в К так, чтобы определитель X был равен 1 и чтобы одновременно все характеристические корни матрицы X были простыми. [19]
Условие, что все решения уравнения х - Ах стремятся к нулю при / - - - - оо, эквивалентно условию, что все характеристические корни матрицы А имеют отрицательные действительные части. [20]
В самом деле, если матрица А подобна жорданозои матрице /, то эти две матрицы обладают одними и теми же характеристическими корнями. Характеристические корни матрицы J находятся, однако, без всяких затруднений: так как определитель матрицы / - КЕ равен произведению ее элементов, стоящих на глазной диагонали, то многочлен ] J - Е разлагается над полем Р на линейные множители и его корнями служат числа, стоящие на глазной диагонали матрицы J, и только они. [21]
Принимая во внимание, что целая положительная степень матрицы уже была определена, можно определить полином / ( Л) от матрицы А в самоассоциативном поле. В теории конечных матриц важную роль играют характеристические корни матрицы. [22]
Но из теории матриц известно, что характеристический полином матрицы А имеет корнями А - е степени корней характеристического полинома матрицы А. Таким образом из равенств (7.8) следует, что все суммы степеней характеристических корней матрицы А равны нулю. [23]
Докажем, что оно является топологическим. Так как JA O ( 1 / / г), то числа logjj при неограниченном возрастании р остаются ограниченными. Это означает, что остаются ограниченными характеристические корни матрицы а, определяемой условием еярарфр. Для каждого р существует унитарная матрица о такая, что а - 1 8 есть диагональная матрица; диагональными коэффициентами матрицы 8 служат характеристические корни матрицы ар. Поэтому и коэффициенты матриц ар остаются ограниченными, так что последовательность otj... Так как taj ap, тотакже а а, и матрица а - эрмитова. [24]
Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1), а следовательно, матрица А, определяет однозначно все связанные с R величины, инвариантные относительно подобных преобразований. Обозначим эти корни через А. Характеристические корни матрицы R называются характеристическими показателями. [25]
Докажем, что оно является топологическим. Так как JA O ( 1 / / г), то числа logjj при неограниченном возрастании р остаются ограниченными. Это означает, что остаются ограниченными характеристические корни матрицы а, определяемой условием еярарфр. Для каждого р существует унитарная матрица о такая, что а - 1 8 есть диагональная матрица; диагональными коэффициентами матрицы 8 служат характеристические корни матрицы ар. Поэтому и коэффициенты матриц ар остаются ограниченными, так что последовательность otj... Так как taj ap, тотакже а а, и матрица а - эрмитова. [26]