Кривая коха

Cтраница 1

Кривая Коха самоподобна: каждая часть является миниатюрной копией целого. [1]

Кривые Коха демонстрируют новое и весьма интересное сочетание простоты и сложности. На первый взгляд они выглядят гораздо более сложными, чем любая стандартная евклидова кривая. Однако теория математических алгоритмов Колмогорова-Чайтина утверждает обратное: кривая Коха ничуть не сложнее окружности. Эта теория оперирует некоторым набором букв или атомных операций, причем длина кратчайшего известного алгоритма построения искомой функции принимается за объективный верхний предел сложности этой функции. [2]

Все эти кривые Коха нигде не пересекают сами себя, поэтому при определении D их можно без какой бы то ни было неоднозначности делить на непересекающиеся части. Однако если при построении кривой Коха использовать небрежно подобранные генераторы, существует известный риск получить самокасание или самопересечение, а то и самоперекрытие. Если желаемое значение D достаточно мало, то тщательным подбором генератора можно легко избежать появления двойных точек. Задача резко усложняется при увеличении D, однако пока значение D остается меньше 2, решение существует. [3]

В случае троичных кривых Коха это утверждение доказывается проще всего, если начало координат совпадает с концевой точкой полупрямой Коха. [4]

Заметим, что кривые Коха допускают только коэффициенты подобия вида г b - k, где b - целое число, для броуновского же следа сгодится любое г. Весьма ценное свойство. [5]

На рисунке изображены кривые Коха 1 и 2-го порядка. [6]

Построение свежинки внутрь и наружу. [7]

На рис. 9.2 приведена кривая Коха, рандомизированная подобным образом. [8]

Я утверждаю, что кривая Коха является грубой, но математически строгой моделью береговой линии. [9]

В главе 6 мы рассматриваем плоские кривые Коха с размерностью D 2, которые не содержат двойных точек, благодаря чему их можно назвать лишенными самопересечений или неразветвленными. А глава 7 посвящена кривым Пеано, неизбежным пределом для которых являются повсюду плотные двойные точки. Количество двойных точек в разветвленной самоподобной кривой стремится к бесконечности. [10]

Следовательно, мы можем охарактеризовать наши субординатные подмножества кривых Коха и Пеано как фрактальные отображения фрактального подмножества моментов времени. Совершенно очевидно, что такое подмножество представляет собой канторову пыль; назовем его субординатором. [11]

В некоторых случаях возникает необходимость в педантичной замене термина кривая Коха чем-нибудь более точным и подходящим. Например, фигура, изображенная на рис. 73 внизу, формально является коховым отображением отрезка прямой и может быть названа дугой Коха. Как следствие, граничная линия на рис. 74 оказывается составленной из трех дуг Коха. [12]

У человека, прочитавшего предыдущий раздел, может сложиться впечатление, что кривая Коха относится к числу наиболее очевидных и интуитивно понятных геометрических фигур. Однако вовсе не так очевидны причины, толкнувшие фон Коха на ее построение. И уж совершенно загадочным представляется отношение к ней со стороны математиков. Чуть ли не единодушно они провозгласили кривую К. За подробностями обратимся к работе Хана Кризис здравого смысла [190], которая, кстати, еще неоднократно нам пригодится. Хан пишет: Характер [ неспрямляемой кривой или кривой, к которой невозможно провести касательную ] совершенно не укладывается в рамки того, что мы можем понять интуитивно. В самом деле, всего лишь после нескольких повторений простой операции сегментирования образующаяся фигура становится настолько сложной, что с трудом поддается непосредственному восприятию, а уж то, к чему эта кривая стремится в пределе, и вовсе невозможно себе представить. Только с помощью разума, применяя логический анализ, мы можем до конца проследить эволюцию этого странного объекта. Если бы мы положились в данном случае на здравый смысл, то составленное нами представление оказалось бы в корне ошибочным, поскольку здравый смысл неизбежно привел бы нас к заключению, что кривых, не имеющих касательной ни в одной своей точке, попросту не бывает. [13]

В главах 6 и 7, призвав на помощь геоморфологию, мы ввели кривые Коха и Пеано, однако объекты наиболее значительных приложений теории фракталов находятся в несколько иных областях. Неспешно подбираясь к основным течениям в науке, мы рассмотрим в этой главе ( и в двух последующих) два вопроса исключительной древности, важности и сложности. [14]

Общие вершины, рассматриваемые первыми, порождают случайные цепи, которые представляют собой прямое обобщение некоторых кривых Коха или Пеано. [15]

Страницы: 1 2 3