Cтраница 2
Свой вклад в сходство внешних форм вносит тот факт, что изображенные на рис. 79 - 85 квадратичные кривые Коха обладают весьма интересным свойством максимальности. Допустим также, что все эти генераторы можно использовать с любыми инициаторами на нашей квадратной решетке. Определим как максимальные те генераторы, которые характеризуются наибольшим значением N и, как следствие, D. [16]
Глядя на этот рисунок, понимаешь, что люди имеют в виду, когда говорят, что предельная кривая Коха заполняет плоскость. [17]
В рамках термина, который Льюис Ричардсон применил к турбулентности, а мы позаимствовали для описания береговых линий и кривых Коха в главе 6, канторова процедура является каскадом. Вещество, однородно распределенное вдоль инициатора [ О, 1, подвергается воздействию центробежного вихря, который сметает его к крайним третям интервала. [18]
Читателю, который продержался до этого места и / или / наслышан об активно сейчас обсуждаемых в научной литературе чертовых лестницах ( см. пояснение к рис. 125), возможно, будет сложно поверить в то, что, когда я начал работу над этой темой в 1962 г., все вокруг были единодушны в том, что канторова пыль по меньшей мере столь же чудовищна, как кривые Коха и Пеано. [19]
Пеано имеет полное право называться прохождением дракона. Как и любая другая кривая Коха, инициатором которой служит отрезок [ О, 1 ], дракон самоподобен. Кроме того, отчетливо видно, что дракон разделен на части, соединяющиеся между собой тонкими переходами. Эти части подобны друг другу, но не целому дракону. [20]
Это необычное распределение кривых по относительной сложности их построения не следует принимать всерьез. И все же, при разумно подобранном алфавите, любая кривая Коха не только имеет конечную сложность, но оказывается проще большинства евклидовых кривых. [21]
О-мерного множества S может быть либо равна нулю, либо бесконечна, либо положительна и конечна. Хаус-дорф ограничился только последним, самым простым, случаем и показал, что в эту категорию входят канторовы множества и кривые Коха. [22]
При построении этих конструкций использован метод Коха, но с неравными длинами сторон гт генератора. До сих пор мы подразумевали, что ко всем N частям, на которые делится наше целое, применяется один и тот же коэффициент подобия г. При неравных коэффициентах г т кривая Коха несколько теряет в своей неумолимой правильности. [23]
На рис. 71 хорошо видно, что площадь этой кривой обращается в нуль. С другой стороны, с каждой ступенью построения ее общая длина увеличивается в 4 / 3 раза, следовательно, в пределе длина кривой Коха бесконечна. Более того, кривая Коха непрерывна, но нигде не имеет касательной - точно график непрерывной функции, не имеющей производной. [24]
Неслучайные фрактальные модели - очень приближенные, но конкретные. Для того, чтобы утверждение о фрактальной природе какого-либо естественного феномена было обоснованным, его следует сопроводить описанием конкретного фрактального множества, которое могло бы послужить моделью этого явления в первом приближении или хотя бы дать нам возможность представить его перед мысленным взором. Моя модель береговых линий, основанная на кривых Коха, или модель галактических скоплений Фурнье показывают, что такое приближенное неслучайное представление может оказаться весьма полезным. Я полагаю также, что рекурсивно построенные контактные кластеры ( подобные тем, что рассматриваются в этой главе) могут снабдить нас полезными фрактальными моделями слабо изученного естественного феномена, который обычно моделируется кластерами Бернулли. [25]
Кривые Коха демонстрируют новое и весьма интересное сочетание простоты и сложности. На первый взгляд они выглядят гораздо более сложными, чем любая стандартная евклидова кривая. Однако теория математических алгоритмов Колмогорова-Чайтина утверждает обратное: кривая Коха ничуть не сложнее окружности. Эта теория оперирует некоторым набором букв или атомных операций, причем длина кратчайшего известного алгоритма построения искомой функции принимается за объективный верхний предел сложности этой функции. [26]
Отсюда возникают интересные следствия. Для псевдопластических жидкостей, у которых n 1, возможны различные варианты. Вероятно, в жидкости движутся структуры, имеющие вид кривых Коха или салфеток Серпинского. При 0.33 n 0.5 фрактальная размерность 2 dF 3, что свидетельствует о наличии структур типа губок Серпинского. Интересно отметить, что для дилатантных жидкостей, а также при турбулентном течении n 1 и, следовательно, фрактальная размерность dF 1, что свидетельствует о нарушении сплошности линий тока и возникновении структуры типа Канторова множества, что в принципе согласуется с явлениями, наблюдаемыми как при турбулентном течении ( отдельные вихри), так и при течении дилатантных сред. [27]
Бесконечное вложение этой фигуры в самое себя дает нам некоторое представление о том, что Тен-нисон однажды назвал внутренней бесконечностью - единственный, в сущности, род бесконечности, доступный нашему восприятию Природы. Благодаря такому подобию между целым и частями - вплоть до самых мельчайших, исчезающе малых частей - кривая Коха обретает воистину чудесные свойства. [28]
Несколько слов об истории развития идей фрактальной геометрии. Она тесно связана с именами таких известных математиков, как Вейерштрасс, Кантор, Пеано, Хаусдорф, Безикович, Кох, Серпинский и др. Так Вейерштрасс впервые ввел в обращение непрерывную, но нигде не дифференцируемую функцию. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие экзотические объекты, мало в то время известные за пределами чистой математики. Оригинальные идеи Хаусдорфа впоследствии были существенно развиты Безиковичем. [29]
При использовании такого алфавита построение правильного многоугольника требует конечного числа штрихов, каждый из которых можно описать с помощью конечного числа инструкций, и, как следствие, является задачей конечной сложности. В построении же окружности, напротив, участвует бесконечное количество бесконечно коротких штрихов, и поэтому окружность представляется нам как кривая бесконечной сложности. Однако если производить построение окружности рекурсивно, можно видеть, что необходимо лишь конечное число инструкций, и значит построение окружности также является задачей конечной сложности. Начнем, например, с правильного многоугольника, число сторон которого равно 2т ( т 2), затем заменим каждый штрих длины 2в1п ( тг / 2т) двумя штрихами длины 2sin ( 7T / 2m 1); далее процесс повторяется снова и снова. Для построения кривых Коха применяется тот же подход, но с использованием более простых операций: длину каждого штриха нужно всего лишь умножить на г, причем относительное расположение штрихов остается неизменным на протяжении всего построения. Отсюда и следует парадоксальное заявление: когда сложность определяется длиной лучшего на настоящий момент алгоритма, выраженного средствами данного алфавита, кривая Коха оказывается проще окружности. [30]