Cтраница 2
Поскольку п 1 уравнение ( 3) описывает неявные функциональные соотношения, нужно сначала показать, что существуют единственные явные функции А А ( Х) и и и ( Х), удовлетворяющие ( 3) в некоторой окрестности матрицы Х0, такие что А ( Х0) АО и и ( Х0) UQ. Здесь и возникает вторая ( и более серьезная) проблема - кратность собственных значений. [16]
Первый из них, вместе с триангулярным графом 7 ( 23), демонстрирует, что кратности собственных значений сильно регулярного графа не определяют параметра графа, даже когда известно, что это блок-граф квазисимметричной схемы. [17]
Размерность dj dimRj называют кратностью соответствующего показателя А. Если и имеет ненулевые проекции на несколько RJ, то А ( и) будет равен наибольшему среди показателей для этих подпространств, т.е. показателю А; с наименьшим номером г. Заметим, что кратность показателей может быть больше кратности собственных значений матрицы А, поскольку показатели действительные, а собственные значения, вообще говоря, комплексные. [18]
У ( он называется собственным вектором), удовлетворяющий равенству Тх AJC. Ясно, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, должны быть линейно независимыми. Размерность нуль-пространства оператора S X / - Т называется кратностью собственного значения X. R, не является собственным значением Т, то из теоремы 5.3 следует, что резольвента jR ( X / - Г) 1 определена на всем V и является ограниченным линейным отображением V на себя. [19]
Нам нужно найти те значения Л, при которых задачи ( 1), ( 2) и ( 1), ( 3) имеют нетривиальные, т.е. с нормой v ф О, решения. Такие значения Л называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения задач ( 1), ( 2) или ( 1), ( 3) называются собственными функциями. Число линейно-независимых собственных функций, отвечающих одному и тому же значению Л, называется кратностью собственного значения. [20]
Все корневые векторы, соответствующие собственному значению Кг, имеют высоты, не превосходящие кратности Кг. Так, например, для оператора простой структуры вообще не существует корневых векторов высоты больше единицы независимо от кратностей собственных значений. [21]
В работах [14, 18-21] рассматриваются бифуркации, происходящие, в частности, при потере устойчивости плоской волны в цилиндре ( 32), когда параметр ц, проходит через некоторое значение. Скорость волны, рождающейся при бифуркациях, является наряду с функцией и искомой величиной. Если записать систему в координатах, связанных с фронтом волны, то рассматриваемые бифуркации оказываются близкими к известным бифуркациям Андронова-Хопфа ( см., например, [45]), но имеют свою специфику, которая связана с кратностью собственных значений ( в силу симметрии рассматриваемых задач) и неединственностью плоских волн. [22]
Условие существования собственного числа АО 0 есть равенство (5.3.24) нулю определителя матрицы этой системы уравнений, что возможно только при определенном типе граничных условий. В силу условия в (5.3.3) на параметры граничных условий Rg A 2, и кратность ( см. § 1.5) собственного значения А 0 не может быть больше двух, что соответствует двум степеням свободы балки как абсолютно жесткого тела. Собственные функции находятся так же, как и в случае ненулевого собственного значения. Однако при кратности собственного значения, равной двум, пара функций, полученных из (5.3.25), может не быть ортогональной. Поэтому для нее необходим процесс ортогона-лизации. [23]
А - / 1) хо, называется иногда собственным подпространством, отвечающим Я. Единственный вектор в о) У, не являющийся собственным, - это нулевой вектор о. Кратность К есть размерность о. Для несимметричных матриц понятие кратности собственного значения более сложное. Собственные подпространства - простейшие из инвариантных подпространств ( обсуждаемых в конце этого параграфа), и одно из следствий следующего факта заключается в том, что все инвариантные подпространства натянуты на собственные векторы. [24]