Крейкнан
Cтраница 1
Крейкнан отмечает, что в замороженной ( ш0 0) турбулентности с максимально спиральными вихрями сохраняются временные корреляции смещения и деформации, что непосредственно указывает на несправедливость в этом экстремальном случае гипотезы беспорядка. С другой стороны, как показывают вычисления, во всех случаях, кроме крайней ситуации с максимальной спиральнос-тью и большим корреляционным временем, память элемента жидкости о его начальном положении ( содержащаяся в накопленной в нем деформации dXg / dXJ) весьма мала или даже точно равна нулю. [2]
Крейкнан [35, 36], обсуждая вопрос о построении формальной дедуктивной теории, отметил недостаточность существующих статистических приближений для эффективного решения обшей задачи при больших магнитных числах Рейнольдса. По всей видимости, турбулентная диффузия крупномасштабных магнитных полей зависит от тонких деталей движения жидкости, которые выходят за рамки общепринятой гидродинамики. В этом смысле замкнутым можно считать лишь квазилинейное приближение, в котором среднее поле удовлетворяет уравнению диффузии с коэффициентом диффузии, зависящим только от двухточечного корреляционного тензора поля скоростей, известного из обычной теории гидродинамической турбулентности, Но этот метод применим только при малых магнитных числах Рейнольдса, когда турбулентный вклад в диффузию мал по сравнению с омическим. [3]
Крейкнана и динамо-коэффициенты высших порядков. Все эти эффекты имеют глубокие физические причины, которые необходимо найти и понять как с физической, так и с формальной точек зрения. [4]
Эту величину Крейкнан находил методом Монте-Карло. Численные результаты ( рис. 5 в [36]) говорят, что средняя длина растет экспоненциально с эффективным значением / Зт0 в (17.100), очень близким к единице. [5]
Более содержательным является результат Крейкнана ИщосЬпап, 1973 ] об ослаблении потока (4.49) при наличии ги отропности. [6]
Уравнение (1.37) было впервые получено в работах Казанцева [1967] и Крейкнана [ Kraichnan, 1967 ] в результате выборочного суммирования диаграмм. Иначе говоря, первое функциональное приближение сразу дает сумму бесконечного ряда. Аналогичное обстоятельство имеет место в теории распространения электромагнитных волн при наличии неоднородностей. [7]
Чтобы избежать появления расходящихся интегралов, с которыми столкнулся Моффат, Крейкнан [35] обратился к эйлеровой формулировке задачи, и ему удалось получить весьма интересные результаты, которые он затем проиллюстрировал численными расчетами методом Монте-Карло, основанными на лагранжевой формулировке. [8]
Ответ на этот вопрос найти нетрудно: никому еще не удавалось свести гидромагнитные уравнения для циклонической турбулентности к решаемому виду без серьезных идеализации, таких, например как ограничение малыми магнитными числами Рейнольдса при использовании квазилинейного приближения Штеенбеком, Краузе и Рэдлером, или резко включающиеся и выключающиеся вихри Паркера, или же сцепленные кольцевые вихри, рассмотренные Крейкнаном. [9]
Для ответа на этот вопрос в работе Крейкнана и Нагараяна проводился численный расчет динамики спектра. Был задан некий начальный спектр и с помощью конечных разностей рассчитана временная зависимость спектральной функции. [10]
Подобные вопросы не очень существенны при изучении турбулентной диффузии скалярного поля, например примеси дыма, но они становятся принципиально важными в случае диффузии магнитного поля. Проблема эта сложна, и, как отметил Крейкнан [35, 36], ее общий анализ выходит за рамки всех ныне существующих формальных статистических приближений. Общеизвестно, что все наши знания о диффузии и генерации магнитных полей в турбулентных жидкостях основываются на ряде частных предельных случаев, таких, как приближение внезапного включения, приближение малых чисел Рейнольдса, и аналитическом и численном исследовании систем турбулентных вихрей искусственно выбранного вида. Несмотря на недостаток изящества, основание это вполне надежно, потому что, с одной стороны, оно имеет количественный характер, а с другой - включает в себя результаты исследования разнообразного набора частных случаев. Уже открыто множество необычайных эффектов, и вполне возможно, что существует еще не открытые явления. [11]
Окончательное количественное исследование зависимости эффективного коэффициента турбулентной диффузии от локальных флуктуации спиральности было проведено с использованием метода Монте-Карло для решения задачи в сформулированной выше ла-гранжевой постановке. Выбрав ряд видов поля скоростей отдельных вихрей, Крейкнан [36] провел с помощью ЭВМ большое количество численных экспериментов. [12]
Все эти работы имеют отношение к старому вопросу о суммарном воздействии турбулентных движений жидкости на магнитное поле. Ясно также, что турбулентная диффузия не обязательно рассредотачива-ет магнитное поле, как это происходит со скалярными полями. Крейкнан [81, 82] подчеркнул, что эта проблема слишком сложна для построения ее общей математической теории на основе любого из ныне известных статистических приближений, как это удалось сделать для гидродинамической турбулентности с помощью приближения прямого взаимодействия. Поэтому в настоящее время наиболее результативным из имеющихся путей является подбор идеализированных примеров, выявляющих интересующие нас эффекты. [13]
Нельзя, конечно, забывать, что приближение внезапного включения не учитывает воздействие последующей системы вихрей на поля bBi вихрей предыдущего поколения. Для исследования полного изменения магнитного поля, переносимого турбулентным течением, приходится обращаться к приближению бесконечной проводимости, в котором поле скоростей действует непрерывно, а диффузионные эффекты совершенно ие учитываются. Крейкнан [36] широко использовал этот метод в численных экспериментах. Естественно, что приближение внезапного включения непосредственно переносится и на случай бесконечной проводимости, так как магнитное поле на начальном этапе т вычисляется без учета омической диффузии. Мы будем иногда использовать результаты, полученные в приближении внезапного включения, увеличивая т в пределе rj - О до больших значений. Однако в пределе rj 0, / - возникают некоторые интересные математические проблемы. [14]
Его вычисления показывают, что если локальные флуктуации спирально-сти сильны и поддерживаются в течение времени, превышающего обычное характерное время TO ( v c - l ( для турбулентности с характерной скоростью f0 и волновым числом kg), то коэффициент турбулентной диффузии магнитного поля сильно уменьшается. Если время корреляции сильных флуктуации спиральности превышает 2т0, то эффективный коэффициент диффузии может уменьшиться до отрицательных значений и магнитное поле начинает стягиваться так, что локальное поле неустойчиво растет. По сути дела, как Моффат, так и Крейкнан нашли примеры, которые позволили посгавить вопрос о том, приближаются ли с течением време-ни щт или к к каким-либо определенным пределам. Если к тому же учесть динамо-коэффициенты высоких порядков [53, 59] и эффекты высоких порядков, связанные с градиентами статистических характеристик турбулентности [69], то общая теория очень сильно усложняется. [15]
Страницы: 1 2