Cтраница 2
В предыдущей части х) мы были заняты главным образом двумя видами трансцендентных количеств; в состав одного из них входили логарифмы, а в состав второго - дуги окружности или углы. Следовательно, в тех случаях, когда ордината у равна логарифму абсциссы х или дуге круга, синус или косинус или тангенс которой выражаются с помощью абсциссы х, так что у 1х, или у arcsin х, или j / arccosa, или у arctgx2), или же если только такого рода значения входят в состав уравнения между х и г /, то в этих случаях кривая будет трансцендентной. Однако такие кривые представляют собою лишь отдельные виды трансцендентных линий, потому что помимо них имеется бесчисленное множество трансцендентных выражений, происхождение которых более детально излагается в анализе бесконечных, так что число трансцендентных кривых во много раз превышает число алгебраических кривых. [16]
Любая прямая, проходящая через особую точку, является касательной, так как удовлетворяет ее определению. Она может быть расположена вне действительной ветви кривой, однако ее координаты будут удовлетворять уравнению кривой. Особые точки типа е, ж, з могут существовать только у трансцендентных кривых. [17]
Во всех остальных случаях, когда х является либо дробью, имеющей четный знаменатель, либо даже иррациональным числом, у будет иметь мнимое значение. Таким образом, уравнение у ( - 1) хдаст бесчисленное. Тем не менее какие-нибудь две точки, расположенные по одну и ту же сторону от оси, будут настолько близки друг к другу, что промежуток между ними будет меньше ЛЕобого заданного количества. Ведь между двумя значениями абсциссы, как бы они ни были близки друг к другу, можно вставить не только одну дробь, но и бесконечно много дробей, знаменатели которых являются нечетными числами, и каждая из этих дробей дает точку, относящуюся к рассматриваемому уравнению. Та же самая аномалия присуща и уравнению у ( - а), и другим подобным ему уравнениям, в которых отрицательное колЕгчество возводится в неопределенную степень. Таким образом, надо было здесь указать на парадоксы, которые могут иметь место лишь у трансцендентных кривых. [18]