Cтраница 2
Если отказаться от регулярности погружения, то всякая двумерная риманова метрика класса Сг, г О, допускает И. Однако при этом будут нарушены обычные связи между внутренней и внешней геометрией поверхности, реализующей метрику. С другой стороны, если поверхность Ф принадлежит классу С1 - а, а2 / з то поверхность Ф, имеющая знакопостоянную внутреннюю кривизну, будет иметь ограниченную внешнюю кривизну. В частности, если внутренняя кривизна Ф положительна, то Ф будет локально выпуклой поверхностью, и если сверх того метрика поверхности регулярна, то регулярна и сама поверхность. Таким образом, нижняя грань значений а, при к-рых сохраняются связи между внутренней и внешней геометрией поверхности Ф класса С1 - а со знакопостоянной внутренней кривизной, принадлежит отрезку [ Vis - 2 / sl - Наконец, все ориентируемые многообразия ограниченной внешней кривизны, не имеющие точек с кривизной 2я, допускают изометрич. [16]
Если отказаться от регулярности погружения, то всякая двумерная риманова метрика класса Сг, г О, допускает И. Однако при этом будут нарушены обычные связи между внутренней и внешней геометрией поверхности, реализующей метрику. С другой стороны, если поверхность Ф принадлежит классу С1 - а, а2 / з то поверхность Ф, имеющая знакопостоянную внутреннюю кривизну, будет иметь ограниченную внешнюю кривизну. В частности, если внутренняя кривизна Ф положительна, то Ф будет локально выпуклой поверхностью, и если сверх того метрика поверхности регулярна, то регулярна и сама поверхность. Таким образом, нижняя грань значений а, при к-рых сохраняются связи между внутренней и внешней геометрией поверхности Ф класса С1 - а со знакопостоянной внутренней кривизной, принадлежит отрезку [ Vis - 2 / sl - Наконец, все ориентируемые многообразия ограниченной внешней кривизны, не имеющие точек с кривизной 2я, допускают изометрич. [17]
Другим важным применением квантовой геометродина-мики являются квантовые флуктуации геометрии пространства. Выражение квантовые флуктуации имеет более глубокий смысл. Их можно понимать как такое движение, которое невозможно выморозить при сколь угодно низкой температуре. Такие флуктуации существуют всегда. В случае электромагнитного вакуума флуктуируют как электрическое, так и магнитное поля. Если обратить в нуль обе эти динамические сопряженные полевые переменные, то принцип неопределенности снова был бы нарушен. Это справедливо и в квантовой геометродинамике. Сопряженные переменные здесь - внутренняя кривизна трехмерного пространства и внешняя кривизна, которая получается, когда это трехмерное пространство рассматривается относительно объемлющей его четырехмерной геометрии. Обе динамические величины не могут быть одновременно обращены в нуль без нарушения принципа неопределенности Гейзенберга. Вследствие этого пространство на расстояниях порядка квантовой длины описывается именно геометродинамикой независимо от того, каким флук-туациям будут подвержены там электромагнитные полевые величины. [18]