Круг - эйлер
Cтраница 2
Понятие о логической разности также будет проиллюстрировано на кругах Эйлера ( фиг. Логическое вычитание Z X - У состоит в извлечении из данной области, представленной первым членом разности, X, области, представленной вторым членом разности, У. Для вычисления логической разности следует учесть, что извлечение определенных элем. [16]
Заметим, кстати, что в литературе имеется тенденция смешивать круги Эйлера и диаграммы Венна. Например, в книге Саппса [97] есть раздел под названием Диаграммы Венна, но начинается он с изображения эйлеровых кругов, причем попутно объясняется, что идея использовать круги принадлежит Эйлеру, Венн же лишь внес улучшения в его метод. Такая тенденция совершенно не оправдана, ибо метод диаграмм Венна основывается на существенно иной идее, чем метод Эйлера, и общего у них только то, что оба являются графическими, оба связаны с геометрическим представлением объемов понятий, или классов, на части плоскости. [17]
Эквивалентность двух выражений функции Z может быть проверена с помощью кругов Эйлера, как показано на фиг. [18]
Поскольку число терминов, связываемых полисиллогизмом, может быть довольно большим, использование кругов Эйлера при поиске следующего нз полисиллогизма заключения становится нецелесообразным - уж больно сложную картину образует пересечение этих кругов в общем случае. [19]
В случае, когда свойств немного, для решения задач подобного сорта удобно пользоваться так называемыми кругами Эйлера. [20]
Когда заходит речь о графических методах логики ( не обязательно математической), обыкновенно вспоминаются так называемые круги Эйлера. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять любой учебник традиционной ( аристотелевской) логики и посмотреть разделы, посвященные объему понятия или категорическому силлогизму. Там почти обязательно мы увидим картинки с изображениями кругов или прямоугольников. Дополнение каждого класса обозначается внешней областью соответствующей замкнутой кривой. При этом некоторая часть плоскости представляет всю рассматриваемую предметную область. [21]
Пожалуй, наиболее просто, наглядно и вместе с тем строго силлогистику Аристотеля можно изложить с помощью кругов Эйлера, которые рассматривались выше. [22]
Для придания наглядности различным рассуждениям, связанным с множествами, часто прибегают к изображению множеств в виде геометрических фигур на плоскости - так называемых кругов Эйлера. [23]
Пусть даны понятия А, В, С, D и Е, между которыми существуют отношения подчинения. Объемы этих понятий будем изображать в виде кругов Эйлера, причем каждое видовое понятие будем изображать в виде круга, который полностью находится внутри круга большего радиуса, изображающего соответствующее родовое понятие, и нигде не пересекается с ним. В качестве примера приводятся диаграммы, на которых изображено два произвольно выбранных варианта отношений подчинения между понятиями А. Каждый этот случай представлен также деревом, имеющим в виде корня круг наибольшего радиуса, то есть понятие А. [24]
Свойственные такому подходу недостатки уже обсуждались нами на примере кругов Эйлера. Эти недостатки, еще терпимые в рамках силлогистики, таковы, что к задачам математической логики, несравненно более сложным, чем получение модусов силлогизма, подход этот оказывается неприменимым. Поэтому в дальнейшем мы иметь с ним дела не будем; все это было сказано исключительно в пропедевтических целях. [25]
В общем случае такие предикаты для различных вернГин могут перекрываться или даже совпадать. На рис. 6.3 приведен пример распределения, изображенного с помощью кругов Эйлера. [26]
Эйлеровские круги получили широкую известность, но должно было пройти некоторое время, пока их стали использовать не только в качестве случайной иллюстрации. По-видимому, говорит Венн, первым логиком, который сознательно использовал круги Эйлера для представления отношений между предложениями, был Краузе. Очевидно, пишет Венн, Краузе полностью понял отношение этих диаграмм к обычным предложениям. [27]
Каждый, кто изучал традиционную логику, знаком с интерпретацией силлогизмов посредством кругов Эйлера: в соответствии с этой интерпретацией переменные термины a, b и с представляются кругами, посылка Aab будет истинной тогда и только тогда, когда круг а или совпадает, или содержится в круге 6, а посылка lab будет истинной тогда и только тогда, когда круги а и b имеют общую область. Следовательно, посылка Eab, будучи отрицанием lab, истинна тогда и только тогда, когда круги а и b не имеют общей области, то есть когда они исключают друг друга. [28]
По существу, мы рассматриваем здесь три множества А, В и С и их пересечения. Если каждое множество представить точками внутри круга ( диаграмма Венна или более правильно круг Эйлера), то три круга, каждое из которых пересекается с двумя другими, делят плоскость на восемь областей. Одна из этих областей вне трех кругов - бесконечна; задача заключается в том, чтобы определить количество индивидов, принадлежащих к этой бесконечной области. Начиная с области внутри всех трех кругов ( с правого конца ряда данных чисел) и продвигаясь наружу ( налево в ряду), можно посчитать, сколько индивидов в каждой области. [29]
 |
Способы представления упорядоченных отношений. [30] |
Страницы: 1 2 3