Cтраница 2
Положив GI 0, получим очевидное решение у const. Ввиду произвольности выбора полюса, очевидно, что все большие круги сферы будут ее геодезическими линиями. [16]
Положив С ] 0, получим очевидное решение ф const. Ввиду произвольности выбора полюса, очевидно, что все большие круги сферы будут ее геодезическими линиями. [17]
Название теоремы Менелая - правило шести величин - объясняется следующим образом. Смысл теоремы состоит в том, что между шестью отрезками - хордами в круге или шестью дугами больших кругов сферы, образующих полный плоский или сферический четырехсторонники, существуют определенные соотношения. Теорема Менелая была доказана и для плоского, и для сферического случаев ( см. коммент. [18]
Вспоминая, что кратчайшей линией, соединяющей две точки плоскости, является отрезок прямой, видим, что при переходе от плоскости к сфере надо сопоставить прямым линиям плоскости большие круги сферы. Таким образом, две прямые сферы ( два больших круга) всегда пересекаются. Следовательно, в случае сферы высказывания два направления параллельны и две прямые не пересекаются означают не одно и то же. [19]
Вместо единичных винтов можно говорить о точках сферы единичного радиуса в пространстве, получающемся из обычного евклидова пространства заменой всех координат параболическими комплексными числами; будем называть это пространство комплексным евклидовым пространством, а сферу в нем - комплексной сферой. Тогда мы получим, что множество лучей евклидова пространства взаимно однозначно изображается комплексной сферой, причем комплексный угол между прямыми равен сферическому расстоянию соответственных точек комплексной сферы, а щетки прямых изображаются большими кругами комплексной сферы. [20]
Вместо единичных винтов можно говорить о точках комплексной сферы единичного радиуса в комплексном евклидовом пространстве, координаты которого являются комплексными числами соответственного вида. Тогда мы получим, что множество лучей неевклидова пространства взаимно однозначно изображается комплексной сферой, причем комплексный угол между прямыми равен сферическому расстоянию соответственных точек комплексно и сферы, а щетки прямых изображаются большими кругами комплексной сферы. [21]
Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении нек-рую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается т.н. большой круг. Большие круги сферы являются ее геодезич. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отноше / 1 виях С. [22]
Лобачевский развил только следствия, вытекающие из видоизменения пятого требования Евклида. В отношении поверхностей это есть сферическая геометрия. Вместо евклидовских прямых линий мы имеем здесь большие круги сферы, которые все дважды пересекаются и каждая пара которых образует два сферических двуугольника. [23]
Нечто подобное должно, по мысли Римана, существовать и для телесных фигур, для твердых тел. Как это далее развил Гельмгольц х), последние могли бы свободно передвигаться только в пространствах с постоянной мерой кривизны. Как кратчайшие линии в плоскости бесконечны, на поверхности же шара имеют, как большие круги сферы, некоторую конечную длину и замкнуты ( при продолжении возвращаешься к исходной точке), так Риман представляет себе конечным, но беспредельным то. Но здесь встречается некоторое затруднение. Если бы существовало понятие меры кривизны для четырехмерного пространства, то переход к более специальному случаю трехмерного пространства был бы понятен. Уже одно то обстоятельство, что для одномерного пространства - любой кривой линии - не существует меры кривизны в смысле ее внутренней меры и что эта мера кривизны является лишь в двумерном пространстве, возбуждает в нас вопрос, имеет ли вообще то, что аналогично этому в трехмерном пространстве, какой-нибудь смысл, и в каких пределах. Не впадаем ли мы здесь в иллюзию, оперируя символами, которым, может быть, вообще ничего действительного не соответствует, во всяком случае ничего наглядного, чем мы могли бы проверять и исправлять наши понятия. [24]
Как мы видели выше, геодезическими линиями на сфере являются большие круги этой сферы. Если точки М0 и MI сферы не являются концами олного и того же диаметра сферы, то их можно соединить двумя дугами одного и только одного большого круга. Если же точки Мй и М лежат на концах одного и того же диаметра, то их можно соединить бесчисленным множеством полуокружностей больших кругов сферы. [25]
Как мы видели выше, геодезическими линиями на сфере являются большие круги этой сферы. Если точки Ма и Мг сферы не являются концами одного и того же диаметра сферы, то их можно соединить двумя дугами одного и только одного большого круга. Если же точки М0 и MI лежат на концах одного и того же диаметра, то их можно соединить бесчисленным множеством полуокружностей больших кругов сферы. [26]
Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда окружность С является большим кругом сферы Q1 ( не проходящим через точку А. Укажем, как геометрически строится ее центр и радиус: плоскость л, в которой лежит окружность С - при инверсии / [ А, АВ2 ] перейдет в сферу л, центр которой лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости я. С другой стороны, так как плоскость л ортогональна сфере Qlt то сфера л должна быть ортогональна плоскости йх, и, значит, центр М сферы л должен лежать на плоскости Ьг. С ( являющейся большим кругом сферы л) есть точка пересечения с плоскостью 6Х прямой, проходящей через точку А перпендикулярно к плоскости л, в которой лежит окружность С. [27]