Cтраница 2
Во втором и третьем случаях G имеет диэдральные или квазидиэдральные силовские 2-подгруппы, поэтому G находится из теорем, классифицирующих такие группы. В частности, G обладает нормальной подгруппой индекса 2, и описание G вновь получается из предыдущих классификационных теорем. [16]
Попутно с доказательством теоремы 3 в [4] выяснено строение нормализаторов силовских 2-подгрупп в конечных простых группах исключительного лиева типа над полем нечетной характеристики, что обобщает и уточняет утверждение (6.3) из [6] для этих групп. [17]
Конечно, она остается необходимой для классификации слитно-простых групп с такими силовскими 2-подгруппами. [18]
Она является расширением теоремы Бра-уэра - Судзуки о непростоте групп с обобщенно кватернионной силовской 2-подгруппой [ 12, теорема 21 ], используемой в доказательстве. [19]
Согласно лемме 22 элемент / однозначно определяется равенством леммы 6 и строением силовской 2-подгруппы. [20]
Глауберман понял, что именно это свойство, а не конкретное строение силовской 2-подгруппы, лежит в основе теоретико-характерного анализа Брауэра и Судзуки. Для формулировки его 7 -теоремы нам необходимо следующее определение. [21]
Таким образом, простая группа секционного 2-ранга не меньше 5 всегда имеет связную силовскую 2-подгруппу. Преимущество изучения групп G секционного 2-ранга не выше 4 ( по сравнению с более ограниченной задачей о группах с несвязной силовской 2-под-группой) заключается в том, что это условие переносится на любое сечение группы G, и поэтому в попытке классифицировать все такие группы можно рассуждать по индукции. [22]
Если Н и К - две 2-локальные подгруппы в G, содержащие общую силовскую 2-подгруппу Т, то при каких условиях Н и К лежат в одной 2-локальной подгруппе (4.41) из G. В частности, когда существует нетривиальная подгруппа R в Т, нормальная как в Я, так и в К. [23]
Например, это условие выполнено, если А слабо замкнута в некоторой силовской 2-подгруппе из G, содержащей А. [24]
Если порядок центра силовсксй 2-подгруппы больше 2, то, очевидно, центры силовских 2-подгрупп Т и 7 имеют неединичное пересечение. Централизатор этого пересечения содержит подгруппы Т и 7 и является не 2-нормальной расщепляемой НТ-группой. Это невозможно, так как ЛГ-грушш - нормальны для любого простого делителя их порядка. [25]
Нетрудно проверить, что централизатор любого неединичного элемента из Г в подгруппе М абе-лев и силовские 2-подгруппы в М взаимно просты. [26]
Второе утверждение следует из того факта, что SL ( 2, р) имеет кватернионные силовские 2-подгруппы. [27]
Если рассматривать вопрос в более общем контексте, то очевидно, что ограничения на порядок силовской 2-подгруппы в G и на значение q в символе L2 ( q) являются искусственными. Уорд [316], а затем Томпсон и Янко [192] рассмотрели эту общую проблему. [28]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.152. Пусть X - простая группа и Т - нетривиальная 2-подгруппа, сильно замкнутая в силовской 2-подгруппе S относительно X. Если Cx ( t) t g У ( Т) X, mo X содержит сильно вложенную подгруппу. [29]
Поскольку получилось восемь элементов, порядки которых - степени двойки, в SL Zs) есть лишь одна силовская 2-подгруппа, так как SL2 ( Z3) 24 8 3 по задаче 59.2. Следовательно, это подгруппа нормальна. [30]