Cтраница 3
Отсюда следует, что изоляторы циклических подгрупп порядка 4 группы G абелевы и совпадают с соответствующими компонентами расщепления силовской 2-подгруппы Р и сопряженных с ней подгрупп. [31]
Из условия m2 ( G) l следует ( согласно предложению 1.35), что G имеет циклическую или обобщенно кватернионную силовскую 2-подгруппу S. Но теперь, согласно теореме Бернсайда о перемещении ( теорема 1.20 ( п)), группа G имеет нормальное 2-дополнение. [32]
Группа G может быть нерасщепляемой только в том случае, когда по крайней мере изоляторы двух циклических [ подгрупп четвертого порядка, принадлежащие различным силовским 2-подгруппам, имеют пересечение, отличное от единицы. Предположим, что существуют два таких изолятора. [33]
В силу теорем 4.22 и 4.23 Бендер может предполагать, что G действует дважды транзитивно на сопряженных с Я подгруппах в G и что силовская 2-подгруппа 5 из Я не нормальна в Я. [34]
Заметим, что в данном случае наше условие эквивалентно строгому включению С ( Х Т) Х, Действительно, в группе L2 ( 2n) силовские 2-подгруппы являются TI-множествами. [35]
В контексте проблемы о группах G2 ( /), а также в других похожих классификационных проблемах анализ 2-слияния дает не только существование группы X с силовской 2-подгруппой S вида 5 S1xS2, но также и то, что X имеет произведение слияний относительно подходящего разложения S. Следовательно, для приложений в теореме 4.145 можно предполагать, что G имеет произведение слияний. [36]
Отметим, что среди простых / С-групп, в которые не вплетена 24, лишь Sz ( 2п) и l / g ( 2) имеют неабелевы силовские 2-подгруппы. Таким образом, факторизации Глаубермана касаются 2-скованных групп, неразрешимые композиционные факторы которых либо изоморфны одной из указанных групп, либо имеют абелевы силовские 2-подгруппы. [37]
Так как подгруппа М пересекается с каждой из сопряженных подгрупп по дополнительным множителям и пересечение любых трех различных сопряженных с М подгрупп - единичная группа, то G - дважды транзитивная группа подстановок множества силовских 2-подгрупп, причем каждая подстановка однозначно определяется образами трех символов. [38]
Далее Томпсон сделал интересное наблюдение - группа Т10 ( Тп) порядка 28 присутствует в качестве исключительного случая в списке Маквильямс [207] тех 2-групп нормального 2-ранга 2, которые являются возможными кандидатами на роль силовских 2-подгрупп в некоторой простой группе. [39]
Хотя априори SL ( 2, p) может встречаться в качестве собственного сечения минимального контрпримера G к упомянутой проблеме, нам удалось очень легко устранить такую возможность, показав в соответствующем случае, что силовская 2-подгруппа 5 из G имеет нетривиальную сильно замкнутую абелеву подгруппу, с последующим использованием сформулированной выше теоремы Голдшмидта для получения противоречия. Тем не менее мы специально решили воспользоваться методом сигнализаторного функтора, а не методом Бендера, в надежде достичь лучшего понимания общей проблемы о ядрах централизаторов инволюций. [40]
Нетранзитивные: подгруппы порядков 1, 2, 3, ненормальные четверные подгруппы и стабилизаторы точек ( 5); регулярные: циклические группы порядка 4 и нормальная четверная подгруппа; примитивные: А4; импримитивные: силовские 2-подгруппы и нормальная четверная подгруппа. [41]
Вопрос здесь никак нельзя считать исчерпанным, поскольку Голдшмидт, а затем Эндрю Чермак, Найлз и Бернд Штельмахер активно занялись обобщением работы Симса с целью построения геометрической теории порождения группы в терминах 2-локальных подгрупп, содержащих общую силовскую 2-подгруппу - теорию, которую можно рассматривать как несколько более примитивную форму порождения ( В, А) - пары ее параболическими подгруппами. [42]
С, C Q, С г С / 0 ( С) и С С / /, то анализ 2-слияния в G позволил нам показать, что С содержит нормальную подгруппу X индекса 2 с силовской 2-подгруппой 5 S1xS2, где S, S2 - ( изоморфные) диэдральные группы. [43]
Обозначим через Р силовскую 2-подгруппу группы G. Так как силовская 2-подгруппа подгруппы М не изолирована в М, то и подгруппа Р не изолирована в G. Поэтому подгруппа А не инвариантна в группе G. [44]
Предположим, что силовская 2-подгруппа Т подгруппы А циклическая. [45]