Cтраница 2
Многие задачи механики и физики формулируются в виде краевых задач для уравнений с частными производными при дополнительных условиях, наложенных на искомое решение или на некоторые функционалы от этого решения. Это, например, задачи фазового перехода, фильтрации с предельным градиентом, теории упругости с учетом трения и с односторонними ограничениями на границе, упруго-пластического кручения и другие. Многие такие задачи можно описать с помощью вариационных неравенств, в частности те из них, которые естественным образом могут быть сведены к поиску экстремума функционала энергии на некотором множестве ограничений. [16]
Рассматривается развитие метода малого параметра применительно к упруго-пластическим задачам теории идеальной пластичности. В настоящее время имеется сравнительно небольшое число точных и приближенных решений упруго-пластических задач теории идеальной пластичности, поскольку возникающие здесь математические трудности весьма велики. Несколько ранее Надаи [2] была предложена песчаная аналогия, позволившая в соединении с мембранной аналогией Прандт-ля осуществить моделирование задач упруго-пластического кручения стержней. Точное решение неодномерной задачи о двуосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием было дано Л. А. Галиным [9], использовавшим то обстоятельство, что функция напряжений в пластической области является бигармониче-ской. [17]
Если основание этой крыши затянуть мембраной и нагрузить последнюю равномерно распределенным давлением, то по достижении этим давлением достаточно больших значении части мембраны придут в соприкосновение с поставленной над сечением крышей ( фиг. Свободные части мембраны, а также части ее, прилегающие к поверхности естественного откоса, образуют вместе-поверхность напряжений стержня, подвергнутого упруго-пластическому кручению. [18]
Решения задач теории пластичности при больших деформациях для упрочняющихся тел представлены значительно скромнее. С математической точки зрения, в этой теории приходится прибегать к исследованию нелинейных тензорных полей. Получен ряд теоретических результатов, касающихся этой физической проблемы, однако решения практических задач приходится связывать с весьма грубыми приближениями, если задача нестационарна. Леви, сформулировав основы теории идеальной пластичности, не дали решения каких-либо двумерных задач. Затем последовал почти сорокалетний перерыв в разработке этой проблемы - Возникший вновь в начале XX в. Согласно ей, поверхность, описываемая функцией напряжений, аналогична поверхности кучи леска, насыпанной на сечение скручиваемого стержня, причем угол внутреннего трения песка пропорционален напряжению текучести. Если это сочетать с аналогией с мыльной пленкой для функции напряжений при кручении упругого стержня, принадлежащей Прандтлю, то задача об упруго-пластическом кручении иллюстрируется при помощи модели пленки, раздуваемой под крышей, образуемой поверхностью кучи песка. [19]