Cтраница 1
Стохастический аттрактор необязательно является странным. [1]
Притягивающая гомоклиническая структура может породить не только стохастический аттрактор, но и своеобразное сочетание неустойчивых дпнжений с устойчивыми движениями, имеющими очень тонкие области притяжения. [2]
Прежде всего интересно, как возникают хаотические и стохастические аттракторы, как они могут меняться и исчезать. В общих чертах возникновение хаотического и стохастического аттракторов является проявлением неустойчивости и притягивающей гомоклинической структуры. При этом какие-то существовавшие ранее устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения должны потерять свою устойчивость или исчезнуть. Однако возможно и жесткое возникновение хаотических и стохастических колебаний. Именно такую возможность демонстрирует рис. 7.38. Здесь появление стохастического аттрактора не сопровождается потерями устойчивости: все движения и до этого были неустойчивые. Относительно хорошо изучено возникновение притягивающей гомоклинической структуры и стохастического аттрактора у уравнения Лоренца ( с. При каждой бифуркации этой серии устойчивое периодическое движение теряет устойчивость и одновременно рождает устойчивое периодическое движение удвоенного периода ( см. с. [3]
Поскольку, как уже неоднократно говорилось, все траектории, образующие стохастический аттрактор, неустойчивы по Ляпунову, они должны иметь хотя бы один положительный ляпу-новский показатель. Наличие положительного ляпуновского показателя является одним из основных критериев стохастичности движения. [4]
Предельное множество этих вложенных друг в друга областей ( число их растет как 2П) и есть стохастический аттрактор. [5]
Области пространства параметров, отвечающие существованию движений, устойчивых по Пуассону, были обнаружены и при lAill, 1Я21 1, что по современной терминологии заведомо соответствует наличию стохастического аттрактора. [6]
С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) поведение фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных на рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О ( 0г1), второй рис. 7.28 6 - появлению двух устойчивых состояний равновесия 01 и 02, третий рис. 7.28, в - рождению неустойчивых периодических движений rt и Г2 и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г - возникновепию стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д - влипанию периодических движений Ft и Г2 в состояния равновесия Oi и 02 и последний 7.28, е - появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастич-ности в системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастич-ность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. [7]
Ближайшее следующее изменение фазового портрета происходит при г 24 74: периодические движения Г4 и Г2 сливаются соответственно с состояниями равновесия Ot и Ог. Таким образом, при г 24 06 возникает стохастический аттрактор. [8]
Эти непредсказуемость и случайность происходят за счет выходов из узкой области притяжения под влиянием неконтролируемых возмущений. При этом стохастические свойства возникающего движения определяются случайными возмущениями. Отметим, что в предыдущем случае стохастического аттрактора они определялись только самой динамической системой, а случайные малые возмущения могли лишь незначительно их изменить. [9]
Уравнение Дуффинга ( 29) при 5 О всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При 8 0 уравнение ( 29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно существование стохастических аттракторов. Действительно, при 6 0 происходит разрушение инвариантных линий, ограничивающих стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. [10]
Уравнение Дуффинга ( 70) при д - 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При 6 0 уравнение ( 70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно существование стохастических аттракторов. [11]
Таким образом, если в начальный момент времени мы знали состояние системы достаточно точно, с малой ошибкой, то со временем ошибка начнет нарастать, и спустя некоторое время, зависящее от скорости перемешивания ( заметим, что скорость перемешивания обычно не связана каким-либо простым образом с величинами ляпуновских показателей), окажется, что о состоянии системы можно сказать лишь, что оно где-то на аттракторе. Таким образом, мы приходим к вероятностному описанию динамического хаоса, к понятиям инвариантной меры и энтропии - степени хаотичности системы. Аттракторы, обладающие свойством перемешивания, часто называют перемешивающими, или стохастическими аттракторами. Однако доказать или проверить свойство перемешивания обычно очень трудно. Тем не менее, в большинстве случаев хаотичность скорее всего влечет за собой и стохастичность аттрактора. [12]
Прежде всего интересно, как возникают хаотические и стохастические аттракторы, как они могут меняться и исчезать. В общих чертах возникновение хаотического и стохастического аттракторов является проявлением неустойчивости и притягивающей гомоклинической структуры. При этом какие-то существовавшие ранее устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения должны потерять свою устойчивость или исчезнуть. Однако возможно и жесткое возникновение хаотических и стохастических колебаний. Именно такую возможность демонстрирует рис. 7.38. Здесь появление стохастического аттрактора не сопровождается потерями устойчивости: все движения и до этого были неустойчивые. Относительно хорошо изучено возникновение притягивающей гомоклинической структуры и стохастического аттрактора у уравнения Лоренца ( с. При каждой бифуркации этой серии устойчивое периодическое движение теряет устойчивость и одновременно рождает устойчивое периодическое движение удвоенного периода ( см. с. [13]
Ближайшее следующее изменение фазового портрета происходит при г 24 74: периодические движения Г4 и Г2 сливаются соответственно с состояниями равновесия Ot и Ог. Таким образом, при г 24 06 возникает стохастический аттрактор. Дополним теперь это рассмотрение выяснением вида предельного множества / при г 24 06 и доказательством возможности сведения преобразования секущей плоскости 2 в себя к преобразованию прямой в прямую, о чем кратко уже говорилось в гл. Обратим внимание на то, как все точки фазового пространства ( за исключением, конечно, неустойчивых равновесий) поглощаются стохастическим аттрактором, и на то, что аттрактор при возрастании параметра возникает из ничего жестко. [14]
Наконец, в случаях виг при любых начальных условиях возможны только стохастические колебания. Области значений у, соответствующие установившимся стохастическим колебаниям, на рис. 9.1 выделены жирными линиями и обозначены буквой J. В зависимости от того, произойдет ли это слияние ниже точки А или выше ее, переходы оказываются различными. Слияние устойчивого и неустойчивого предельных циклов происходит как раз в области этой структуры, которая после слияния становится притягивающей и образует стохастический аттрактор. Поэтому возникновение стохастичности после такого нерехода сопровождается перемежаемостью. [15]