Cтраница 2
Непосредственно из определения тензорного произведения вытекает, что указанное там отображение т индуцирует билинейное отображение а множества Ах В в абелеву группу A RB. [16]
Пусть а - точка из А; для всякого х; а, принадлежащего А, множество Ах содержится в компактном интервале [ а, Ь ], и потому базис фильтра 95 имеет точку прикосновения с. Так как интервалы [ х, - - [ замкнуты, то с принадлежит их пересечению и является, таким образом, мажорантой для А; с другой стороны, всякая другая мажоранта z множества А будет с, ибо в противном случае окрестность z, - - [ точки с не содержала бы ни одной точки из А, это и показывает, что с есть верхняя грань множества А. [17]
Очевидно, можно, не ограничивая общности, считать, что если нам дан канал без шума, то множества Ах заполняют все Y; таким образом, канал без шума обладает схемой с равномерно ограниченной ошибкой нулевого уровня. Выполняется также и обратное. [18]
Смысл леммы состоит в том, что множество А распадается на сумму ( непересекающихся) подмножеств Ах, каждое из которых обладает следующими свойствами: любые два элемента подмножества Ах эквивалентны; всякая пара эквивалентных элементов принадлежит одному из Ах. Множество Ах называется классом эквивалентности. [19]
Не уменьшая общности, можно считать, что х принимает всевозможные вещественные значения. Ограничимся случаем, когда множества Ах попарно не пересекаются. [20]
Покажем, наконец, что слагаемые в правой части равенства (61.1) попарно не пересекаются. Именно, покажем, что для любых двух элементов х и х множества Ах - и Ах либо совпадают, либо не пересекаются. [21]
Изложенное выше настойчиво наводит на мысль, что в общем случае частичной потери - частичной передачи информации разумно поставить следующую задачу. Предположим, что каждому х, для которого p ( x) fQ, сопоставлено - множество Ах, такое, что р ( Ах х) 1 - е, где е - некоторое фиксированное число, О С в 1 и множества Ах попарно не пересекаются. Что это означает по отношению к скорости передачи информации через канал. Мы скоро увидим, что этот вопрос тесно связан с нашей задачей; однако нам хочется подойти к нему несколько другим путем. [22]
Теперь рассмотрим Ах - подмножество тех элементов из А, у которых первая компонента равна х; множество Ах можно рассматривать как подмножество Тп 1, если у всех его элементов опустить первую общую компоненту. [23]
Однако я не называю полную решетку аппроксимационной; если она не отвечает следующему нематематическому требованию: для аппроксимационной решетки отношение xjly имеет смысл интерпретировать, как х приближает у. Скотт предлагает рассмотреть решетку приближенных и переопределенных функций из А в В, отождествляемых с подмножествами прямого произведения множеств Ах В. [24]
Изложенное выше настойчиво наводит на мысль, что в общем случае частичной потери - частичной передачи информации разумно поставить следующую задачу. Предположим, что каждому х, для которого p ( x) fQ, сопоставлено - множество Ах, такое, что р ( Ах х) 1 - е, где е - некоторое фиксированное число, О С в 1 и множества Ах попарно не пересекаются. Что это означает по отношению к скорости передачи информации через канал. Мы скоро увидим, что этот вопрос тесно связан с нашей задачей; однако нам хочется подойти к нему несколько другим путем. [25]
Мы опишем в общих чертах эту алгебру Нортона, поскольку она является отправным пунктом в построении Грисса группы F. Прежде всего по определению алгебра А над полем / С-это векторное пространство над / С, на котором определено дистрибутивное умножение, согласующееся с умножением на скаляры из поля К. Напомним, что умножение на А-это просто отображение а множества Ах А в А. [26]
Топологическое пространство X называется 1-простран-ством, если для каждой пары различных точек х, у существует открытое множество А такое, что х А и уф А. В самом деле, если ( у) замкнуто, то А X - ( у) открыто и х Л, у ф А. С другой стороны, если для каждого х ( х Ф у ] имеется открытое множество Ах такое, что х А и у ф Лл. [27]
Однако я не называю полную решетку аппроксимационной, если она не отвечает следующему нематематическому требованию: для аппроксимационной решетки отношение xjly имеет смысл интерпретировать, как х приближает у. Примеры, приведенные Скоттом, содержат решетку приближенных и переопределенных действительных чисел, причем мы отождествляем приближенное действительное число с интервалом и считаем, что отношение x Dy имеет место только в случае ysx. Единственное) переопределенное действительное число является пустым множеством. Скотт предлагает рассмотреть решетку приближенных и переопределенных функций из А в В, отождествляемых с подмножествами прямого произведения множеств Ах В. [28]