Cтраница 4
В частности, D численно эквивалентен нулю тогда и только тогда, когда его ограничения на любое гиперплоское сечение X численно эквивалентно нулю. Для неособого комплексного многообразия ( iii) ( i) следует из трудной теоремы Лефшеца и теоремы об индексе на поверхностях. Эквивалентность ( i) о ( iv) следует из теоремы Рима-на - Роха для особых многообразий. [46]
Другая группа приложений теоремы об индексе связана с С - числами Лефшеца и неподвижными точками. Для автоморфизма С - эллиптического комплекса, являющегося элементом компактной группы автоморфизмов, определяются числа Лефшеца со значениями в KQ ( A) ( 8 С. Они связаны с неподвижными точками при помощи формулы типа Атьи-Лефшеца - Сигала. [47]
Следующее видоизменение определения, скажем, индекса плоской замкнутой жордановой кривой /, более топологично и может быть тоже легко обобщено на высшие размерности. Тогда М М определяет отображение р: / - С, степень которого по Брауэру ( см. Лефшец [3], стр. Эквивалентность с предыдущим определением проверяется немедленно. Поскольку степень отображения можно определить для любой размерности, эта новая формулировка переносится на высшие размерности. [48]
Лефшеца - Хоифа теоре-м а - теорема, позволяющая выразить число неподвижных точек непрерывного отображения через его Лефшеца число. Так, если непрерывное отображение /: X - X конечного клеточного пространства X не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца L ( /) равно нулю. Частным случаем последнего утверждения является Б pay эра теорема о неподвижной точке. [49]
Отображение f: S2 - S2, задаваемое формулой f ( z) 2zfc / z fc - 1 для целого k 2, является непрерывным отображением степени k с неограниченными числами Лефшеца итераций и только двумя периодическими точками. [50]