Доска - гальтон
Cтраница 2
Получаются те же десять вариантов, что и в случае с размещениями двух шариков по пяти отделениям или в случае с попаданием на третий штырек в пятом раду на доске Гальтона. [16]
Это устройство представляет собой плоскую доску, на которой в определенном порядке укреплены штырьки-цилиндрики ( кружочки на рисунке - основания цилиндриков): вверху один штырек-цилиндрик, ниже - первый ряд из двух штырьков, еще ниже - второй ряд из трех штырьков и так далее. На доске Гальтона, представленной на рис. 1, имеются пять рядов штырьков. Количество рядов ( и соответственно штырьков) могло бы быть больше, но нам вполне достаточно пяти рядов. [17]
Более интересен пример с шариком на доске Гальтона. Испытания состоят в том, что на верхний штырек роняется шарик, и рассматривается его движение от штырька к штырьку, заканчивающееся попаданием в ту или иную ловушку. Там же отмечены числа равновероятных исходов, когда шарик оказывается в той или иной ловушке. Все эти исходы равновероятны, поскольку в каждом испытании шарик испытывает шесть столкновений со штырьками и при каждом столкновении он с равной вероятностью отскакивает влево или вправо. [18]
Кстати, ее несостоятельность весьма ярко видна на примере с движением шариков по доске Гальтона. Вот мы посылаем первый шарик скакать по штырькам на этой доске. В результате шарик оказывается в какой-то ловушке. Затем мы посылаем скакать по доске Гальтона второй шарик. Затем третий шарик, четвертый, пятый и так далее. Каждый шарик никаким образом не может знать какой путь по доске проделали другие шарики. [19]
Вполне понятно, что набор способов выбрать из пяти отделений два занятых отделения должен совпадать с набором способов выбрать из пяти бросаний монетки два с выпадением решки. Но почему такой же набор вариантов получается при рассмотрении способов попадания шарика на третий штырек в пятом раду на доске Гальтона. Ответить на этот вопрос нетрудно. [20]
Отметим, что смысл таких событий вполне ясен уже из рассматривавшихся нами примеров ( например, связанных с движением шарика по доске Гальтона или подбрасыванием монетки) и не нуждается в предварительном введении понятия вероятности. Так, равновероятность отскакивания шарика от штырька влево или вправо объясняется симметрией шарика и штырька по отношению к отражению в плоскости, проходящей через центр шарика и ось штырька. Равновероятность выпадения орла или решки объясняется симметрией монетки по отношению к переворачиванию ее с одной стороны на другую. С очевидной симметрией кубика связана равновероятность выпадения каждой его грани. [21]
 |
Доска Гальтона. [22] |
Таким образом показано, что термодинамический закон максимума энтропии на самом деле есть статистический закон, имеющий в своей основе мало общего с динамикой. Если система находилась первоначально в состоянии неполной упорядоченности, то есть в состоянии, которое не является наиболее вероятным ( что соответствует средней ячейке доски Гальтона) то весьма вероятно, что в течение определенного времени она будет приближаться к состоянию максимальной вероятности, соответственно - максимальной энтропии. Правда, весьма вероятно, но не с абсолютной точностью. В самом деле, современная техника микронаблюдений выявила такие случаи, в которых могут осуществляться отклонения от наиболее вероятного состояния. Отсюда следует экстремальный принцип статистической механики несколько иного рода, чем соответствующие законы чистой механики. [23]
Тогда, когда рассматриваем события, исход которых неоднозначен. Шарик, скачущий по доске Гальтона, может попасть или не попасть в ловушку В. Он может также попасть или не попасть в ловушку А. Мы говорим, что у него больше шансов попасть в ловушку В, нежели в ловушку А. [24]
Бернулли соответствует случаю, когда р q 1 / 2; схему испытаний Бернулли с р q 1 / 2 мы будем называть симметричной. Там же было описано устройство доски Гальтона - физического прибора, в котором осуществляется случайное блуждание на прямой, а стало быть, и симметричная схема испытаний Бернулли. [25]
Примерами однородных испытаний являются подбрасывания монетки или кубика. Очевидно, что как монетку, так и кубик можно подбрасывать сколько угодно раз при неизменных условиях подбрасывания. Шарик можно ронять на верхний штырек доски Гальтона сколько угодно раз. В разных случаях движение шарика по доске к ловушке оказывается, вообще говоря, различным, но условия этого движения остаются во всех случаях неизменными. Понятно, что и тут мы имеем дело с однородными испытаниями. Различные ситуации, когда приходится тянуть жребий, можно представлять моделью, в которой вынимают наугад шар из мешка. Именно для того, чтобы испытания в таких случаях были однородными, требуется всякий раз после очередного испытания возвращать вынутый шар обратно в мешок и хорошо перемешивать шары внутри мешка. Кстати, в различных карточных играх вынутую карту возвращают в колоду карт, которую затем старательно тасуют. Это также объясняется требованием однородности испытаний. [26]
Предлагается выполнить следующий эксперимент. На такой доске шарик попадает в ту или иную ловушку после четырех столкновений с штырьками. Эксперимент состоит в том, чтобы мысленно пустить шарик по такой доске Гальтона 50 раз и определить ( через подбрасывания монеты), в какой ловушке он должен оказаться в том или ином случае. Надо изобразить на доске ( или на бумаге), как распределятся 50 воображаемых шариков по ловушкам. Хорошо бы, чтобы такой эксперимент одновременно проделали несколько человек - каждый со своей рисованной доской Гальтона. Интересно сравнить полученные результаты. [27]
 |
Доска Гальтона. [28] |
Закон нормального распределения действует достаточно строго. И если вдруг, изучая какое-либо явление, мы обнаружим отклонения от закона, над этим следует задуматься. Видимо, среди случайных воздействий есть такие, влияние которых преобладает, нарушая общее течение вероятности. Это может, например, случиться, если на доске Гальтона выпал или погнулся один из гвоздиков. Или на производстве, когда количество бракованной продукции ( оно ведь тоже подчиняется этому закону) неожиданно резко возрастает. В таких случаях в результате анализа причин брака непременно обнаруживается какое-то нарушение в одном из звеньев или в системе связи. [29]
Так, имеется один шанс из двух получить одну из трех путевок при наличии еще пяти желающих. Имеются три шанса из восьми вынуть красный шар из мешка, в котором находятся 3 красных и 5 белых шаров. Имеются 15 шансов из 64 попадания шарика в ловушкуД на доске Гальтона. Напомним в этой связи высказывание Огюстена Курно, взятое нами в качестве одного из эпиграфов к данной теме. [30]
Страницы: 1 2 3