Cтраница 2
Книга содержит в себе также материал, представляющий интерес и для специалистов. К этому следует, прежде всего, отнести ту часть книги, где речь идет об интегральных неравенствах, в частности, о неравенствах Рисса для перестановок функций N переменных, а также о неравенствах Юнга и Харди - Литлвуда - Соболева. Указываются точные значения констант во всех этих неравенствах и находятся экстремальные функции, для которых соответствующие неравенства обращаются в равенства. [16]
Они могут быть одним из главных принципов, лежащих в основе рассуждения, хотя окончательная формулировка результата не будет содержать никаких метрич. Харди - Литлвуда - Виноградова, в к-ром существенную роль играют метрич. Это обстоятельство позволило И. М. Виноградову формулировать свои новые теоремы об оценках сумм Вейля как нек-рые метрич. Кроме того, метод И. М. Виноградова оценок сумм Войля носит ярко выраженный метрич. Примеров такого рода в теории чисел мало. [17]
Лннни-ком был создан дисперсионный метод для решения целого ряда аддитивных задач теории чисел. Им были решены проблема Харди - Литлвуда, Титчмарша проблема делителей, аддитивная проблема делителей. В последнее время получены глубокие результаты при помощи метода большого решета Ю. В. Линника, к-рый был создан им в 1940 при решении проблемы о наименьшем квадратичном невычете. [18]
Как заметил Харди в своих лекциях о Рамануджане, тот в гораздо большей степени, чем современные ему европейские математики, исходил из конкретных числовых примеров. Это особенно наглядно проявилось в его работах по проблеме разбиения чисел. При поиске формулы, дающей при любом п значение р ( п) с конечной ошибкой, Рамануджан изумил Харди и другого сотрудничавшего с ним английского математика - Литлвуда. Рамануджан догадался внести в ключевое выражение для этой формулы - / 24 - По словам Литлвуда, такую догадку нельзя назвать иначе как гениальной. Во всем этом есть что-то сверхъестественное [ 77, с. На протяжении своей короткой математической деятельности, оборванной ранней смертью, Рамануджан многократно угадывал приближенные выражения очень сложных функций с конечной ошибкой. [19]
Основными вопросами в этой проблематике являются следующие: доказать разрешимость заданного уравнения, найти асимптотич. Второй вопрос значительно труднее, и положительный ответ на него в нек-ром смысле дает ответ на первый вопрос. Варинга проблемы, Гольдбаха проблема, Харди - Литлвуда проблема. [20]
Первое из них основано на рассуждение, которое мы за неимением лучшего термина будем называть принципом компактности. Второе следует доказательству из [49], где используются идеи Люстерника и Бляшке. При этом используется также концепция конкурирующих симметрии из [14], которые будут также полезны в § 4.3 и далее при рассмотрении неравенства Харди - Литлвуда - Соболева. [21]
Мне явно не хватало некоторых фактов, и я без конца доказывал какие-то теоремы, очень близкие ск тому, что мне требовалось, но в конечном счете все-таки оказывавшиеся для меня бесполезными. Ингам обратил мое внимание на то, что многие сходные задачи были в свое время решены Харди и Литлвудом при помощи метода, который они назвали методом тауберовых теорем. Сами тау-беровы теоремы - это некоторые утверждения из области математического анализа, целиком относящиеся к технической стороне математики, и я не собираюсь излагать их в этой книге, не рассчитанной на специалистов. Скажу только, что знакомство с этими работами Харди и Литлвуда принесло мне большую пользу: еще раз бросившись в бой, я на сей раз выиграл сражение. [22]
Эта теория носит общий характер: многие ее результаты справедливы для любого абстрактного пространства с мерой, так как геометрия пространства М не играет существенной роли. В этой главе мы изучаем перестановки функций - понятие, которое существенно использует как геометрию, так и теорию интегрирования. С педагогическими целями это понятие может использоваться для хороших упражнений ( как, например, в доказательстве неравенства Рисса для перестановок) на манипулирование с измеримыми множествами. Более того, теоремы о перестановках ( как приводимые ниже, так и другие, здесь не сформулированные) оказываются чрезвычайно полезным инструментом математического анализа. В частности, из этих теорем следует, что минимизирующие функции для неравенства Харди - Литлвуда - Соболева ( см. § 4.3) являются сферически симметричными функциями. Еще одно следствие этих теорем - лемма 7.17, которая утверждает, что при перестановке функции уменьшается кинетическая энергия. Этот факт, в свою очередь, приводит к тому, что оптимизирующие функции для неравенств Соболева оказываются сферически симметричными функциями. Из неравенств для перестановок вытекает хорошо известное изопериметрическое неравенство ( оно не доказывается здесь), согласно которому шар имеет наименьшую площадь поверхности среди всех тел заданного объема. Во многих других случаях из неравенств для перестановок следует, что сферически симметричные функции являются на самом деле минимизирующими функциями. Например, как показано в § 11.17, шары минимизируют электростатическую емкость. [23]
В 1959 Л инником при помощи созданного им дисперсионного метода была решена проблема Харди - Литлвуда, а именно, было доказано ( см. [2]), что всякое достаточно большое натуральное число может быть представлено в виде суммы простого числа и двух квадратов целых чисел. Дисперсионным методом был решен ряд так наз. Q ( п) решений уравнения а рп, где аир пробегают заданные последовательности чисел, достаточно хорошо распределенные в арифметич. Для метода Линника характерно использование элементарных теоретико-вероятностных понятий, примененных П. Л. Чебышевым в его выводе закона больших чисел. С этой целью данное бинарное уравнение сводится к большому числу вспомогательных уравнений, для к-рых сопоставляются ожидаемые ( 5 - ( п)) и истинные ( Qi ( n)) количества решений уравнений. Дисперсионный метод был использован также для исследования общего уравнения Харди - Литлвуда. [24]
Окончил Ленинградский ун-т ( 1938), с 1944 проф. Варинга, доказал, что каждое большое натуральное число есть сумма семи кубов натуральных чисел, установил, что почти для всех модулей верна гипотеза И. М. Виноградова о наименьшем квадратичном невычете; созданный при этом метод большого решета нашел важные применения в аддитивной теории чисел. Харди - Литлвуда о представимости натуральных чисел суммой простого числа и двух квадратов, аддитивную проблему делителей, проблему делителей Титчмарша и др. В теорию вероятностей и математич. Основные направления исследований: предельные теоремы для независимых случайных величин в неоднородных цепей Маркова, глубокое изучение безгранично делимых законов, характе-ризация распределений свойствами статистик, теория проверки сложных гипотез и теория оценивания. [25]