Cтраница 1
Логицизм, Логический атомизм, Математическая бесконечность, Парадокс, Типов теория и лит. [1]
Приняв программу логицизма, он проникся убеждением, что ни одно понятие, ни одна аксиома не должны приниматься на веру. Предполагалось, что логика и математика в принципе однородны, что как простейшие законы логики, так и сложные теоремы математики выводимы из небольшого набора элементарных идей, что математика - это по сути та же логика, только более зрелая, развитая. Эта мысль уже была высказана к тому времени Фреге. [2]
ИНТУИЦИОНИЗМ - направление в философских основаниях математики ( наряду с логицизмом и формализмом), возникшее в начале 20 в. [3]
ИНТУИЦИОНИЗМ - направление в философских основаниях математики ( наряду с логицизмом, формализмом и эффективизмом), возникшее в начале 20 в. [4]
ИНТУИЦИОНИЗМ - направление в философских основаниях математики ( наряду с логицизмом, формализмом и эффективизмом), возникшее в начале 20 в. Чтобы избежать парадоксов, математическое доказательство должно основываться не на логической строгости, а на интуитивной очевидности: оно достоверно при условии интуитивного понимания каждой его ступени, начиная с исходных посылок и правил рассуждения. Он только считает, что математика не может основываться на логике, и развивает свое понимание логики как части математики, рассматривая логические теоремы как математические теоремы наивысшей общности. [5]
Первое, что сразу же бросается в глаза: Шпенглер отказывается от гегелевского логицизма, от стремления свести весь культурно-исторический процесс к одной стержневой логике, пронизывающей всю историю и находящей свое завершение в некоей высшей точке. [6]
Критикуя субъективистский тип мировосприятия, доминирующий, по его убеждению, в Европе с эпохи Возрождения, за отвлеченный логицизм, индивидуализм, иллюзионизм и т.п., Флоренский в этой своей критике менее всего был склонен отрицать значение разума. [7]
Этот кризис зародился в недрах теории множеств и функций примерно на четверть века ранее, а рассматриваемые годы были отмечены борьбой между течениями логицизма Рассела, формализма Гильберта и интуиционизма Броуера - Вейля, борьбой, обусловившей бурный расцвет исследований по математической логике. В Москве, где в то время процветала школа теории функций во главе с профессором и в дальнейшем академиком Н. Н. Лузиным ( 1883 - 1950), проблемы обоснования математики и споры вокруг них возбудили большой интерес, стимулировавший быстрый рост методологических и логико-математических исследований; с этим естественно переплеталось изучение исторического аспекта проблем обоснования математики, восходивших к далекой древности. Во второй половине 20 - х годов обсуждение обширного круга методологических и исторических вопросов активно велось в математическом семинаре при Ассоциации естествознания Коммунистической академии, которую возглавлял профессор алгебры Московского университета О. Ю. Шмидт ( 1891 - 1956), впоследствии знаменитый полярный исследователь и академик. Руководителем семинара был профессор Московского университета, позднее член. [8]
Первоначальная философскогматематическая концепция Вейля обычно рассматривается как тематически связанная с идеями Анри Пуанкаре, развитыми им в начале века в полемике с Расселом и Гильбертом; в отличие от подходов логицизма и формализма Пуанкаре настаивал на том, что преодоление трудностей обоснования математики ( обусловленных, в частности, антиномиями логики и теории множеств) следует связывать с идеей интуитивной первичности итерационно-индуктивных процессов и недопустимостью в математике ( и логике) так называемых непредикативных определений. Непредикативными, грубо говоря, называются определения, в которых определяемый объект уясняется ( вводится, конструируется) в терминах, предполагающих либо допускающих ( в определяющей части определения) неявную ссылку на него самого. Поскольку непредикативные определения не позволяют в общем случае сводить определяемое к уже введенным понятиям ( объектам) - подразумевают, что определяемое так или иначе известно, - на них можно смотреть как на чреватые ошибкой порочного круга ( о чем так настойчиво говорит Вейль) и в этом смысле считать их неконструктивными. [9]
Каждая из указанных выше формальных теорий имеет определ. Конструктивное направление, Логицизм, Математическая бесконечность, Математическая логика, Метод аксиоматический, Минимальная логика, Номинализ. [10]
Эрбран) и пропагандировать логицизм Рассела. [11]
Коллективное бессознательное проявляется в виде архетипов культуры, которые нельзя описать, осмыслить и адекватно отразить в языковых формах. В этом смысле Юнг претендует на создание нового типа рациональности, не поддающегося традиционному европейскому логицизму. [12]
Цермело же объявил свою аксиому новым логическим принципом, не сводимым к прежним. Было от чего прийти в замешательство: безоговорочное принятие аксиомы выбора как нового логического принципа требовало перестройки всей системы логики для сохранения основного тезиса логицизма; да и прецедент опасен - вдруг появятся новые аналогичные принципы. [13]
Нет никакого сомнения в том, что механическое осуществление некоторых отдельных операций освобождает человека для решения более трудных задач. Но при всей своей необходимости такой способ действий малоэффективен, ибо он вместо того, чтобы делать ум открытым, увеличивать наш опыт осмысленной работы в различных ситуациях, делает наш ум механистическим и затрудняет свободные и осмысленные действия. В результате голого логицизма, реальная действительность оказывается скрытой плотным занавесом, сотканным из чужих слов, ходячих представлений и абсолютных понятий, облеченных в язык науки. [14]
Естественно было считать, что появление парадоксов связано прежде всего с приводящим к абстракции, актуальной бесконечности безоговорочным перенесением на бесконечные множества законов традиц. В дальнейшем во взглядах на причины возникшего кризиса определились далеко идущие расхождения. В рамках типов теории ( см. также Логицизм) Рассела и Уайтхеда мощности конечных множеств ( следуя Фреге) вводились посредством спец. [15]