Cтраница 2
Произвольное гладкое возмущение интеграла дает, вообще говоря, уже не интеграл. Рассмотрим близкую Неособую поверхность Ва -, - объединение нескольких торов. Предположим, что с каким-то одним из этих торов Г е встречается несколько сепаратрисных диаграмм седловых окружностей. В силу боттовости интеграла / каждая сепаратрисная диаграмма пересекает тор Г е по гладкой самонепересекающейся окружности, причем окружности, отвечающие разным диаграммам, не пересекаются. К каждой из окружностей по отдельности применимы все предыдущие рассуждения. Следовательно, каждая из них является осью узкого кольца, по которому приклеивается подошва одной круглой ручки - или подошва толстого листа Мебиуса. [16]
Сепаратрисные диаграммы высекают нетривиальные циклы на неособых торах Лиувилля. И зоэнергетические поверхности задаются одномерными графами, вершины которых разбиваются на пять канонических типов, - 1.6. Любая поверхность постоянной энергии интегрируемой системы представляется в виде склейки простейших трехмерных многообразий трех типов. Двулистные накрытия над изоэиергетическими интегрируемыми поверхностями всегда обладают ориентированным интегралом. [17]
Итак, мы доказали существование малой изотопии тора Т ап - в торе Тап, переводящей его в линейный тор. Но в таком случае тор Ti: un-l реализует образующую в группе Нп ( Тап, Z), что и требовалось доказать. Итак, в ориентируемом случае лемма доказана. Рассмотрим теперь неорйентируемый случай. Здесь рассуждения более деликатны. В самом деле, из определения неори -: нтируемой сепаратрисной диаграммы следует, что орбиты ( ПП flR jft... При действии Пг - на точку h она успевает пробежать лишь половину полного оборота на торе Тап. Итак, мы подходим к следующей схеме. В результате получится новый ( вытянутый) параллелепипед П, растянутый в k направлениях в два раза. Ясно, что теперь эта орбита изображается ( в переменных действие - угол на торе Лиувилля) линейной плоскостью, которая почти замкнута после факторизации куба на тор. Дальнейшие рассуждения повторяют рассуждения ориентируемого случая. [18]