Cтраница 1
Современный математик, конечно, может смотреть на геометрию как на продукт чистого мышления, принимая аксиомы и постулаты в качестве определений, а всю систему рассматривая как занимательную игру. Но это, конечно, не то, что греческие философы разумели под своей геометрией: они верили в то, что имели дело со свойствами реальных вещей. [1]
Но только в работах выдающегося современного математика Пойа подобные методы оказались исключительно плодотворными. [2]
Эта небольшая монография одного из крупнейших современных математиков - Уолтера Хеймана - посвящена теории целых и мероморфных функций. [3]
Лукасевич делает из Аристотеля антипсихологиста в духе некоторых современных математиков, увлеченных всяческим формализмом в логике и не усматривающих при этом никакой связи логики с гносеологией. [4]
В этом направлении главным образом и ведутся исследования современных математиков. Так, Каисса во многих ситуациях уже отказывается от полного перебора вариантов. Заметим, что любой метод сокращения перебора в шахматных программах, по существу, является методом направленного поиска, широко используемого в прикладной математике. [5]
Но для математиков XIX века - и, разумеется, для современных математиков - роль геометрии изменилась. [6]
В то же время нельзя умолчать и о том, что среди современных математиков все шире распространяется мнение о бесперспективности абстрактных методов: их плодотворность, по всеобщему убеждению, близка к исчерпанию. Действительно, прекрасные универсальные понятия не падают с неба. Сначала исследователи сталкиваются с конкретными проблемами, подавляющими своей неприступной сложностью и безраздельным господством частностей. Затем появляются аксиоматики и устанавливают со всей непреложностью: вместо того чтобы, напрягая все силы и сбивая руки в кровь, ломиться в двери, можно изготовить ключик, который позволит открыть их без особого труда и лишнего шума. Но изготовить ключ аксиоматики могут лишь после того, как сквозь трещины в замке, проделанные их предшественниками, они изучат его устройство вдоль и поперек, - прежде чем обобщить, формализовать, необходимо иметь математическую субстанцию. Я также придерживаюсь того мнения, что математическая субстанция, формализацией которой мы занимались в последние десятилетия, постепенно близится к исчерпанию. [7]
Немного слов нужно прибавить для того, чтобы это определение длины кривой удовлетворило современного математика. [8]
Для новой книги этой кембриджской серии редакторы сумели в качестве автора привлечь одного из наиболее выдающихся современных математиков, внесшего значительный вклад в теорию, которой посвящена книга. Профессор Веблен является, кроме того, мастером математического изложения. В первых 4 - х главах ( составляющих половину книги) автор развивает аналитическую теорию дифференциальных инвариантов без каких бы то ни было примеров и аналогий из физики или геометрии. Этим и объясняется то, что тогда как части I и II Абсолютного дифференциального исчисления Леви-Чивита - столь же чистая математика - читаются без труда, первая половина книги Веблена определенно трудна. [9]
Математическая теория энтропии, в основу которой легли фундаментальные работы Клода Шеннона, была создана трудами выдающихся современных математиков, в первую очередь А. Н. Колмогорова ( см. Колмогоров [1987]), а также А. Я. Хин-чина, И. М. Гельфанда и их последователей. Эта теория дает замечательный пример плодотворного воздействия прикладных областей на фундаментальные направления математики. [10]
Если мы возьмем на числовой прямой С, области изменения вещественной переменой х, некоторую определенную точку, например х О, то, как мы видели, нельзя никоим образом утверждать, что всякая точка либо совпадет с этой первой точкой, либо же раздельна от нее. Если это шокирует современного математика с его атомистическими навыками мышления, то в прежние времена это являлось чем-то само собой разумеющимся: хотя внутри континуума и можно выделить частичные континуумы путем полагания границ, но бессмысленно утверждать, будто целостный континуум состоит из границ и этих частичных континуумов. Подлинный континуум есть нечто в себе связное и не может быть разделен на отдельные, куски, подобное разделение противоречит его сущности. В основании его лежит система Е тех двоичных интервалов, которых первая характеристика m положительна. Здесь мы убеждаемся, что точечные множества, рассматриваемые в качестве области изменения аргументов функции, являются только замаскированными интервальными множествами, точнее дефинитными интервальными множествами. В рамках анализа возможно общее учение только о таких точечных множествах, ибо эти множества попадают под рубрику functiones discretae. [11]
Доказан следующий результат о равносильности различных концепций понятия алгоритма: классы функций, вычислимых на машинах Тьюринга, частично рекурсивных функций, вычислимых с помощью нормальных алгорифмов Маркова ( аналогичные классы функций при других концепциях понятия алгоритма), совпадают. По мнению большинства современных математиков, этот класс функций адекватен классу интуитивно В. Такое отождествление позволяет придать математичность алгоритмическим проблемам. [12]
Книга написана выдающимся американским математиком С. Овладение категорным языком и умение его использовать позволяет современному математику видеть и осознавать единство науки. Особое внимание в книге уделено понятиям сопряженного функтора и моноидальной категории, которые находят разнообразные применения. [13]
Совершенно очевидно, что положение дел, сложившееся к концу предыдущего параграфа, нуждается в коренном пересмотре, причем этот пересмотр немы -: лим без привлечения совершенно новых понятий. Более того, надо всячески поощрять умение разрешать проблемы именно концептуально. К сожалению, это умение невозможно выявить ни на каком обычном экзамене, хотя оно жизненно необходимо для современного математика. [14]
Пожалуй, здесь не будет лишним отметить ошибочность довольно распространенного мнения, будто данная тема - занятие, подходящее лишь для тупых вычислителей, а для настоящих математиков слишком скучное. Гаусса [40]: Что задача различать простые и составные числа, а последние разлагать иа простые множители, принадлежит к важнейшим и полезнейшим задачам во всей арифметике и что она занимала ум как древних, так и современных математиков, настолько известно, что было бы излишним тратить на это много слов. [15]