Cтраница 2
Утверждение о наличии в Арифметике Диофанта общих методов решения неопределенных уравнений, в частности уравнений второй степени, не является чем-то само собой разумеющимся. Арифметика представляет собой довольно случайное собрание задач, каждая из которых решается своим искусным и даже искусственным приемом. Ганкель, утверждавший, что современному математику после 100 решений Диофанта трудно решить 101 - ю задачу [ 1, с. Подобные суждения мы находим также у таких крупных историков математики, как О. [16]
Утверждение о наличии в Арифметике Диофанта общих методов решения неопределенных уравнений, в частности уравнений второй степени, не является чем-то само собой разумеющимся. Арифметика представляет собой довольно случайное собрание задач, каждая из которых решается своим искусным и даже искусственным приемом. Ганкель, утверждавший, что современному математику после 100 решений Диофанта трудно решить 101 - ю задачу [ 1 с. Подобные суждения мы находим также у таких крупных историков математики, как О. [17]
Необходимо подчеркнуть, что систематическое рассмотрение этих проблем в логике в настоящее время тесно переплелось с математической теорией множеств, которая сама по себе имеет непосредственную связь с кибернетикой. Теория множеств дает многие средства, необходимые для описания систем и их преобразований, а также для исследования таких вопросов, как изоморфизм, о котором упоминалось выше. Кибернетики широко воспользовались как той частью теории множеств, которая рассматривает множество точек и входит в топологию, так и другой, которая исследует абстрактные множества в чистой алгебре. Здесь мы вплотную подходим к работам современных математиков, в числе которых следует назвать такие имена, как Бурбаки ( Bour-baki) во Франции ( общий псевдоним группы ученых) и Клини в США, внесших существенный вклад в обе части теории множеств. [18]
Прежде чем приступить к более подробной характеристике трудов Гильберта, я хочу кратко сформулировать, в чем состоит своеобразие гильбер-товского математического мышления. Оно проявляется прежде всего в присущем Гильберту стиле изложения - его предельной ясности. Читая Гильберта, вы как бы совершаете прятную прогулку по залитой солнцем открытой местности, Прежде чем собраться с силами и начать взбираться ввысь, вы можете оглядеться вокруг, вам отчетливо видны все детали, все пути-дороги и водоразделы, и ваш дальнейший путь ведет прямо вверх, вам не приходится ни блуждать, ни обходить какие-либо препятствия. Стиль Гильберта не имеет ничего общего с лаконизмом большинства современных математиков, исходящих из предположения, что труд печатника и бумага стоят дорого, а усилия и время читателя - нет. А сколь многочисленны примеры, иллюстрирующие фундаментальные теоремы в его алгебраических работах, - примеры, придуманные не ad hoc, а примеры, раскрывающие существо дела, заслуживающие того, чтобы их изучать. [19]
При этом, однако, мне хотелось бы обсудить следующее: математический экзистенциализм, выражающийся в символике кванторов, хорош и верен до тех пор, пока речь идет о развитии общей теории. Когда же в каком-нибудь конкретном случае должно быть сделано определенное численное предсказание ( хотя и не точное, а всегда приближенное), нужно попытаться реализовать символически удостоверенное существование путем его явной реализации, согласно принципиальному требованию брауэровской математики. Известное и вполне приемлемое для формальной математики доказательство этой основной теоремы алгебры оказывается недостаточным, если речь идет о действительном вычислении корней, исходя из коэффициентов, или, точнее говоря, если необходимо найти способ все более и более точного определения корней, когда точность, с которой определяются коэффициенты, безгранично растет. Поэтому я нахожу уместным обратиться к современному математику с таким призывом: если ты умеешь решать проблему явно конструктивным путем, не ограничивайся чисто экзистенциальными доказательствами. [20]
Один из аспектов этого мифа - представление о непогрешимой правде непосредственного чувства, о том, что наивный наблюдатель безошибочно воспринимает окружающий мир таким, каков он есть, безо всяких прибавлений и искажений. Поскольку искусство - это, помимо прочего, одна из форм познания, на упомянутом мифе основана концепция реализма, как простого копирования действительности. Рефлексию, поскольку она преломляет непосредственность, этот миф трактует как искажение действительности или уход от нее. В действительности неограниченное познание возможно только при неограниченной рефлексии. Всякая остановка в рефлексивном развитии приводит к абсолютизации какой-то точки зрения и присущих этой точке зрения субъективных моментов Так, развитие науки требует усложнения ее рефлексивного аппарата. Например, в понятийном аппарате теории относительности и квантовой механики необходимы наблюдатели, а современный математик уже не считает свои аксиомы самоочевидными. [21]
В той или иной форме несоизмеримое отношение всегда определяется совокупностью его последовательных приближений, и тогда равенство несоизмеримых отношений заключается в постоянном совпадении соответствующих приближений. К этой последней точке зрения, по существу, приближается и Лобачевский. Строгий, неизменно последовательный эмпирик-материалист, он признает только, процессы, фактически выполнимые. Он говорит ( глава I): Наконец не должно выходить остатку или, что все равно, быть так малу, что чувства не могут его давать знать, того менее орудие мерять. В этот момент процесс обрывается, отношение представляет собой рациональное число, выражаемое непрерывной дробью. Для Лобачевского, таким образом, существуют только рациональные приближенные отношения, выражаемые с любой доступной нам точностью. Вопрос об иррациональных отношениях как бы отпадает; при установлении пропорциональности Лобачевский всегда доказывает, что соответствующие отношения будут равны, какова бы ни была доступная нам точность. По существу, это, конечно, лишь иное выражение той же идеи, лежащей в основе современной постановки вопроса; немногое нужно изменить в формулировках Лобачевского, чтобы к ним присоединился современный математик. [22]