Cтраница 2
Отрезки а и е не имеют общей меры, несоизмеримы. Открытие древнегреческими математиками существования несоизмеримых отрезков ( диагональ квадрата несоизмерима с его стороной) является одним из самых замечательных открытий математики. Наиболее известная процедура, связанная с десятичной системой счисления, состоит в следующем. [16]
Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени. Достаточно сказать, что некоторые задачи, решенные древнегреческими математиками, оказались не под силу математикам первых полутора тысячелетий нашей эры. [17]
Последние объясняли сущность всех вещей с помощью чисел и их соотношений, тем самым способствуя становлению и развитию древнегреческой математики. Единое, согласно пифагорейскому учению, по своему статусу выше множественности; оно служит началом определенности, дает всему предел, как бы стягивая, собирает множественное. А там, где налицо определенность, только и возможно познание: неопределенное - непознаваемо. [18]
ТЕОН из Смирны ( вешу) ( 2 в. Автор труда О математических знаниях, необходимых для чтения Платона, к-рый и до наших дней является источником для изучения древнегреческой математики. [19]
Иногда парадоксы приводят к весьма глубоким открытиям. Так, древнегреческие математики долго ломали голову над тем, почему длину диагонали единичного квадрата невозможно измерить точно линейкой со сколь угодно мелкими делениями. [20]
Когда же устная традиция по причинам внутреннего характера оборвалась, понимание геометрических доказательств значительно осложнилось, поскольку: При устном объяснении отрезки можно указывать пальцем, делать ударения на особенно важных местах и можно рассказать, как получилось доказательство. Все это отпадает в письменной формулировке строгого классического стиля: доказательства закончены, логически обоснованы, но они ничего не подсказывают. По существу, здесь подтверждено, что в древнегреческой математике существовали свои механизмы трансляции неявных элементов знания - посредством устной традиции, то есть вербально, от субъекта к субъекту личностным образом, видимо, в процессе обучения. А поскольку в древнегреческой математике еще не было и не могло быть устоявшейся стандартной терминологии и общепризнанных обозначений, неявные элементы знания и средства их трансляции должны были иметь решающее значение. Действительно, далее отмечает Ван-дер - Варден: Пока еще традиция не прерывалась, пока каждое поколение могло передавать свою методику следующему, все шло хорошо, и наука процветала. [21]
Когда же устная традиция по причинам внутреннего характера оборвалась, понимание геометрических доказательств значительно осложнилось, поскольку: При устном объяснении отрезки можно указывать пальцем, делать ударения на особенно важных местах и можно рассказать, как получилось доказательство. Все это отпадает в письменной формулировке строгого классического стиля: доказательства закончены, логически обоснованы, но они ничего не подсказывают. По существу, здесь подтверждено, что в древнегреческой математике существовали свои механизмы трансляции неявных элементов знания - посредством устной традиции, то есть вербально, от субъекта к субъекту личностным образом, видимо, в процессе обучения. А поскольку в древнегреческой математике еще не было и не могло быть устоявшейся стандартной терминологии и общепризнанных обозначений, неявные элементы знания и средства их трансляции должны были иметь решающее значение. Действительно, далее отмечает Ван-дер - Варден: Пока еще традиция не прерывалась, пока каждое поколение могло передавать свою методику следующему, все шло хорошо, и наука процветала. [22]
Решето Эратосфена - это старейший из известных способов выписывания простых чисел. В отличие от методов, обсуждавшихся в предыдущих параграфах, он не использует никакой специальной функции. Эратосфен ( Erathostenes) был греческим математиком, родившимся около 284 года до н.э. Он владел многими отраслями знаний, однако современники не считали его выдающимся специалистом ни в одной из них. Вот уже 2300 лет мы пользуемся его работами, а полученные им прозвища являются лишним подтверждением величия древнегреческой математики. [23]
Теория конических сечений Аполлония была положена в основу Введения Ферма и Геометрии Декарта. У Аполлония не было общих произвольно взятых координат, но были координатный угол и координатные линии, всегда ориентированные по двум сопряженным направлениям кривой второго порядка. Теория конических сечений, поныне являющаяся важнейшей темой плоской аналитической геометрии, - это одно из величайших достижений древнегреческой математики. На нее опирались в своих трудах не только Галилей и Кеплер, Ферма и Декарт, но и Дезарг, Паскаль, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, Лагранж и другие великие ученые. [24]
Показать учащимся, что понятие действительного числа возникло в результате расширения понятия рационального числа. Необходимость этого расширения обусловлена как практическим использованием математики, так и развитием самой математики. К понятию действительного числа подошли еще древнегреческие математики в своей теории несоизмеримых отрезков, но как самостоятельное понятие оно было сформулировано впервые в XVII в. [25]
Вообще о значении неявной эвристики, которую в рамках излагаемого подхода можно рассматривать как неявно применяемый математический метод в развитии математики, свидетельствуют отдельные комментарии. Но прежде, чем приступить к их анализу, следует вспомнить, что в математической теории неявное знание присутствует в скрытом виде, в основном в качестве неявных предпосылок, которые, тем не менее, также влияют на получение научно-теоретических выводов, как и любое знание вообще. В математике неявное знание имеет вид скрытых лемм или определений, а также особых приемов, применяемых при решении задач или доказательстве теорем. Все указанные объекты в совокупности называются математической эвристикой. Велика доля эвристики в геометрии, где доказательство теорем и решение задач предполагает выполнения чертежа или рисунка и где, как правило, проводится дополнительное построение. Применение и продуцирование эвристики в математике требует выработки определенных умений и навыков, при которой порождаются неявные элементы знания. Понятно, что таковые каким-то образом должны транслироваться при доказательстве, иначе оно будет непонятно. А поскольку указанные теоретически неявные элементы математики не содержатся в тексте учебников, где приводятся математические доказательства, они могут передаваться только посредством устных замечаний, что как раз и было характерно для математики древнего мира. Об этом свидетельствует указание на огромную важность устной традиции в древнегреческой математике, сделанное Ван-дер - Варденом. Он, в частности, отмечает: Чтение доказательств у Аполлония требует долгого и напряженного размышления. Вместо удобной алгебраической формулы стоит длинная фраза, где каждый отрезок изображается двумя буквами, которые нужно еще отыскивать на чертеже. [26]