Cтраница 2
Главный труд Начала ( 15 книг), содержащий основы античной математики: элементарной геометрии, теория чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов - оказал огромное влияние на развитие математики. [16]
В этой работе он почти по-современному обращается с понятием бесконечного, перед которым боязливо отступала античная математика. Правда, метод доказательства математических истин с помощью механических аналогий Архимед рассматривал как предварительный и в своих поздних сочинениях он дал точные доказательства важнейших теорем. [17]
Открытие правильных многогранников, соответствующих конечным подгруппам группы движений пространства, рассматривалось как высшее достижение античной математики - описание правильных многогранников завершает Элементы Евклида. Это были самые глубокие симметрии, открытые античной математикой. То же место занимает открытие и перечисление простых групп Ли в математике нового времени - это самые тонкие симметрии, до понимания которых современная математика поднялась. И точно так же, как Платон считал тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр формами элементарных составляющих четырех стихий - огня, воздуха, земли и воды ( оставляя додекаэдр как символ космоса), так современные физики пытаются при помощи свойств различных простых групп SU ( 2), SU ( 3), SU ( 4), SU ( 6) и др. найти общие закономерности в многообразии элементарных частиц. [18]
В рамках арифметизированного анализа приобретали полную ясность все осознанные и неосознанные переходы к пределу, совершавшиеся в античной математике от Евдокса до Архимеда, и разрешались ( it известном смысле) зеноновские апории. [19]
В тех довольно многочисленных случаях, когда этот аппарат оказывался недостаточным для логической обработки некоторого конкретного материала, античные математики готовы были принести содержание в жертву форме. [20]
Для примера я назову формальное решение кубического уравнения ( формула Кардано), которое находится в труде Ars magna Кардано, появившемся в Нюренберге в 1545 г.; это в высшей степени ценное произведение содержит вообще зародыши - современной алгебры, выходящие за пределы схемы античной математики. [21]
Открытие правильных многогранников, соответствующих конечным подгруппам группы движений пространства, рассматривалось как высшее достижение античной математики - описание правильных многогранников завершает Элементы Евклида. Это были самые глубокие симметрии, открытые античной математикой. То же место занимает открытие и перечисление простых групп Ли в математике нового времени - это самые тонкие симметрии, до понимания которых современная математика поднялась. И точно так же, как Платон считал тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр формами элементарных составляющих четырех стихий - огня, воздуха, земли и воды ( оставляя додекаэдр как символ космоса), так современные физики пытаются при помощи свойств различных простых групп SU ( 2), SU ( 3), SU ( 4), SU ( 6) и др. найти общие закономерности в многообразии элементарных частиц. [22]
Рассматривая исследования советских историков математики за шестьдесят лет, мы видим, что в настоящее время эти ученые образуют разветвленную научную школу, объединяемую общностью методологических принципов и целей. Функционирует несколько активных научных центров, тесно связанных между собой; в работе по истории математики участвует довольно большое число математиков различных специальностей. Исследования охватили многие направления истории математики; при этом особенно значительны были успехи в изучении развития отечественной математики в России и СССР, античной математики, математики средневекового Востока и нескольких отдельных направлений математики нового и новейшего времени, как алгебра и теория чисел, проблемы обоснования математики, теория множеств и функций, дифференциальные уравнения и еще некоторые. [23]
Произвольные величины ( площади, объемы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных величин - в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. Однако в классической античной математике над буквами никаких операций не производилось, а буквенного исчисления создано не было. [24]
Всякая поддающаяся общему методу исследования задача приводится к алгебраическому уравнению, но как решить последнее. Общим приемом решения уравнений для Декарта служило построение пх корней при помощи пересечения кривых. Прием этот, употреблявшийся еще античными математиками и особенно развитый Омаром Хайямом, 1 имел в глазах автора Геометрии основоположное значение. Именно в связи с ним Декарт дал первую-еще несовершенную классификацию кривых. При этом Декарт выставил в качестве правила, что для построения корней уравнения следует использовать кривые возможно низшей степени. Хотя, - писал он, - в геометрию должны быть допущены нее кривые линии, которые можно описать посредством какого-либо правильного движения, но ото вовсе не значит, что для построения всякой задачи дозволительно без различия воспользоваться любой, первой попавшейся кривой. Необходимо всегда стараться выбрать наиболее простую кривую, позволяющую решить эту задачу. [25]
Арифметика Диофанта - это сборник задач ( их всего 189), каждая из которых снабжена решением ( или несколькими решениями, полученными разными способами) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и расположены так, что служат иллюстрацией вполне определенных общих методов. Как это было принято в античной математике, методы не формулируются общим образом, отдельно от задач, но раскрываются в процессе решения. Напомним, что даже знаменитый метод исчерпывания - первый вариант теории пределов - не был выделен в чистом виде ни его создателем Евдоксом из Книда, ни Архимедом. [26]
К четырем, видам свободных искусств средневекового квадривиума2 принадлежали еще арифметика, музыка и астрономия; их также приписывали Пифагору, и они были, конечно, областью деятельности первых из его учеников. Даже само название математика происходит оттуда: из учеников Пифагора вскоре выделилась группа, называвшая себя математиками, так как они занимались четырьмя математа: геометрией, арифметикой, теорией музыки - и астрономией. Однако из этого не следует, как иногда бывает, делать вывод, что античные математики совсем неблагосклонно относились к приложениям математики. Многие занимались практической механикой, и не кто иной, как Архимед был величайшим среди них. Пожалуй, верно, что как вавилонская математика, так и греческая далеко опередили возможности ее применения: конические сечения были впервые использованы через два тысячелетия после их открытия как эллиптические орбиты планет у Кеплера, в одном из фокусов которых находится Солнце. [27]
Если к элементарной математике отнести материал, входящий в курс средней школы ( что тоже далеко пе однозначно характеризует элементарную математику), то нетрудно убедиться в крайней разнородности отдельных ее частей. В арифметике, кроме обучения счету, мы встречаем решение задач с пспользопанием приемов, большей частью достаточно давнего происхождения, и некоторые сведения из теории целых чисел, которые в большинстве восходят к античной математике. [28]
Таким образом, утверждение об отсутствии противоречий в пределах существующих теоретико-множественных построений является эмпирическим заключением, для которого не имеется достаточно веских оснований. В результате приходится констатировать, что, несмотря на весьма успешное обслуживание теорией множеств аксиоматиче ского метода, основания, на которых она сама строится, неудовлетворительны. Отправляясь от указанных затруднений, дальнейшая критика обратила внимание на одну существенную особенность теории множеств или, лучше сказать, на особенность математического мышления вообще, но проявившуюся наиболее ясно при развитии теории множеств. Речь идет об идее бесконечности, являющейся одним из самых основных элементов математического мышления. В античной математике по отношению к бесконечности была проявлена осторожность. Был произведен в известной мере логический анализ понят, связанных с бесконечностью. [29]