Cтраница 3
Указание: умножение на матрицу перестановки слева равносильно перестановке строк умножаемой матрицы. [31]
Квадратная матрица Р называется матрицей перестановок, если каждая строка и каждый столбец Р содержит единственный элемент 1, а остальные - нули. Таким образом, пхп матрица перестановок содержит п единиц и п ( п - 1) нулей. Можно показать, что всякая матрица перестановок является невырожденной. [32]
Такую задачу выполняет подходящий выбор матриц перестановок. [33]
Pk, где Pi являются матрицами перестановок ( см. [11], стр. [34]
Если det ЛйО, то существует матрица перестановок Р такая, что матрица РА имеет отличные от нуля угловые миноры. [35]
Это свойство дает им свое название; матрицы перестановок применяются в формулах для указания перестановок строк и столбцов и редко используются в вычислениях как таковых. [36]
В первом случае по предположению индукции существует матрица перестановок Pm-i порядка m - 1 такая, что Pm-Am - имеет отличные от нуля угловые миноры. [37]
Теперь ясно, что при указанном выборе матрицы перестановки Р матрица РАРТ имеет требуемый вид. [38]
Если двоякостохастическая матрица S разложима, то существует матрица перестановок Р такая, что PSPT представляет собой прямую сумму двояко-стохастических матриц. [39]
Если матрица А невырожденная, то существует такая матрица перестановки Р, что матрица РА допускает разложение РА Ы1 ( или PALDU, что предпочтительнее) с ненулевыми ведущими элементами. В этом случае существует единственное решение системы Ах Ь, которое можно найти с помощью процесса исключения при использовании перестановок строк. В случае вырожденной матрицы никакое переупорядочение строк не позволяет избежать нулевых ведущих элементов. [40]
Условимся в дальнейшем матрицу Р порядка п называть матрицей перестановки ( permutation matrix), если она обладает нормальным набором элементов, каждый из которых равен единице, а все остальные элементы матрицы равны нулю. [41]
Однако если матрица Л невырожденна, то найдется такая матрица перестановки Р, что ЛР-1 имеет НВ-разложение. Изложим алгоритм, который по любой невырожденной матрице А находит такие матрицы L, U и Р, что ALUP. [42]
Множество всех двояко стохастических матриц совпадает с выпуклой оболочкой матриц перестановок. [43]
Для доказательства достаточно умножить равенство ( 132) на матрицу перестановки и воспользоваться тем, что произведение матриц перестановок есть матрица перестановки. [44]
Доказать, что если В не вырождена, то найдется матрица перестановки Р ( а возможно, и много таких матриц), для которой РВ допускает треугольное разложение. [45]