Касательная матрица - жесткость
Cтраница 1
Касательная матрица жесткости для ULJ-формулировки отличается от аналогичной матрицы UL-формулировки наличием матрицы К дг. Остальные матрицы и векторы имеют тот же вид, что и в уравнениях UL-формулировки с заменой матрицы С матрицей С в подынтегральном выражении для матрицы К. [1]
Для; построения касательной матрицы жесткости применяют численный подход, который заключается в том, что концевые точки нити получают последовательно малые смещения вдоль координатных осей, для которых вычисляются концевые реакции. [2]
Однако этот метод требует корректировки касательной матрицы жесткости на каждом шаге итерационного процесса, что сопровождается значительными затратами машинного времени. Это устраняется при применении для итераций модификации метода Ньютона ( 1.5. 13), так как при зтом для итераций используется касательная матрица жесткости, построенная на предыдущем шаге по параметру. [3]
Переход от местных осей к общим для концевых усилий и касательной матрицы жесткости осуществляется по обычным в МКЭ формулам, но направляющие косинусы угла a должны вычисляться через координаты концов стержня в текущий момент решения. [4]
На основе идеи последовательных нагружений предложено для определения приращений обобщенных координат строить касательную матрицу жесткости с использованием полученных на предыдущем шаге значений координат и усилий. Этот подход, по существу, равносилен интегрированию задачи Коши по параметру нагрузки методом Эйлера. [5]
Вариант численного анализа поведения системы в окрестности особой точки предложен в [411], где на основе касательных матриц жесткости в точках до и после особой точки строится задача на собственные значения для разделения бифуркационных ветвей. [6]
Таким образом, консервативные нагрузки ( включающие гидростатическое давление) позволяют рассмотреть вариационную формулировку уравнений и, как следствие, получить симметричную касательную матрицу жесткости при решении методом конечных элементов задач с произвольной величиной деформаций. [7]
 |
Иллюстрация применения модифицированного метода Ньютона - Рафсона в одномерной задаче. [8] |
Как отмечено выше, стандартный метод Ньютона - Рафсона является мощным инструментом решения нелинейных задач, однако он трудоемок в применении, поскольку требует вычисления и триангуляризации касательной матрицы жесткости на каждой итерации. Модифицированный метод Ньютона - Рафсона существенно снижает число операций на одной итерации, однако при этом ухудшаются характеристики сходимости. Семейство квазиньютоновых методов [62] по характеристикам сходимости и числу операций на одной итерации занимает промежуточное положение между стандартным и модифицированным методами Ньютона - Рафсона. В квазиньютоновых методах на каждой итерации строится приближение к обращенной касательной матрице жесткости без вычисления ее в явном виде. [9]
После решения системы (6.7) ( или (6.4)) вектор перемещений д и в момент времени t Af находится из второй формулы (6.6), для динамических задач определяются скорости и ускорения по первой и третьей формулам (6.6), вычисляется новая ( эффективная) касательная матрица жесткости, и процесс счета повторяется на следующем шаге во времени. Численную процедуру пошагового решения уравнений статики (6.4) или динамики (6.7) для задачи с одной степенью свободы иллюстрирует рис. 6.1. Недостатком такой процедуры интегрирования уравнений является то, что при относительно большом шаге Д численное решение может уйти достаточно далеко от истинного. Для исправления этой ситуации требуется применять итерационные процедуры уточнения решения. [10]
Матрицу К / д Кт называют часто касательной матрицей жесткости. [11]
 |
Иллюстрация применения стандартного метода Ньютона - Рафсона в одномерной задаче. [12] |
Недостатком итерационной процедуры стандартного метода Ньютона - Рафсона является то, что на всех итерациях при решении системы уравнений (6.9) надо формировать матрицу г дг. В модифицированном методе Ньютона - Рафсона [49, 62, 122] касательная матрица жесткости не пересчитьшается на каждой итерации. [13]
В теоретических исследованиях [87] сходимости решения при использовании алгоритма штрафных функций к решению исходной контактной задачи параметр штрафа стремится к бесконечности. Тем не менее в численном решении большое значение шп может привести к плохой обусловленности касательной матрицы жесткости. При уменьшении параметра шп увеличивается ( паразитный) нормальный перехлест в численном решении. [14]
Однако этот метод требует корректировки касательной матрицы жесткости на каждом шаге итерационного процесса, что сопровождается значительными затратами машинного времени. Это устраняется при применении для итераций модификации метода Ньютона ( 1.5. 13), так как при зтом для итераций используется касательная матрица жесткости, построенная на предыдущем шаге по параметру. [15]
Страницы: 1 2