Cтраница 2
Иными словами, в первой схеме итерация проводится модифицированным методом Ньютона, а вторая схема соответствует простой итерации типа последовательных приближений. Показано, что первая схема требует вдвое меньших затрат машинного времени, хотя она требует на каждом шаге по параметру обращения новой касательной матрицы жесткости. [16]
Таким образом, решения задач (7.32) и (7.29) должны давать близкие результаты. С точки зрения практических расчетов формулировка задачи (7.32) проще, так как не требуется вычислять новые матрицы KI и К2, а используются только касательные матрицы жесткости К и - - Д К, которые определяются при пошаговой процедуре решения задачи до решения задачи (7.32) на собственные значения. [17]
Для; построения касательной матрицы жесткости применяют численный подход, который заключается в том, что концевые точки нити получают последовательно малые смещения вдоль координатных осей, для которых вычисляются концевые реакции. Следует отметить, что при наличии неконсервативной ветровой нагрузки касательная матрица жесткости не является симметричной. [18]
Как отмечено выше, стандартный метод Ньютона - Рафсона является мощным инструментом решения нелинейных задач, однако он трудоемок в применении, поскольку требует вычисления и триангуляризации касательной матрицы жесткости на каждой итерации. Модифицированный метод Ньютона - Рафсона существенно снижает число операций на одной итерации, однако при этом ухудшаются характеристики сходимости. Семейство квазиньютоновых методов [62] по характеристикам сходимости и числу операций на одной итерации занимает промежуточное положение между стандартным и модифицированным методами Ньютона - Рафсона. В квазиньютоновых методах на каждой итерации строится приближение к обращенной касательной матрице жесткости без вычисления ее в явном виде. [19]
В предыдущем параграфе при расчете стержневых систем использовался метод Ньютона - Рафсона. Этот метод позволяет найти равновесное положение системы. Но при этом неясно, является ли найденное положение устойчивым или неустойчивым. Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проанализировать касательную матрицу жесткости. Если эта матрица для равновесного положения является положительно определенной, то найденное положение равновесия является устойчивым. [20]
По своей природе они являются нелинейными, так как при их решении требуется определить заранее неизвестную границу контакта двух ( или более) тел и контактные силы взаимодействия этих тел. Наиболее известны такие методы решения контактных задач, как методы множителей Лагранжа и штрафных функций. Для метода множителей Лагранжа точно выполняются кинематические условия контакта, но вводятся дополнительные уравнения для множителей Лагранжа и получается усложненная формулировка уравнений. В то же время для метода штрафных функций число уравнений при введении условий контакта не меняется, однако в численном алгоритме точно удовлетворить кинематические условия контакта не удается. Введение большого коэффициента штрафа приводит к плохой обусловленности касательной матрицы жесткости, а для малого коэффициента штрафа ухудшается выполнение кинематического условия контакта тел. Поэтому выбор величины штрафа является непростой задачей. [21]