Cтраница 2
Все Га являются особенными матрицами ( det Га0) и не имеют обратных матриц. [16]
В соответствии с первым законом Кирхгофа одно из уравнений системы ( 1 - 15) является зависимым, поэтому сумма веере элементов в каждой строке и в каждом столбце этой матрицы тождественно равна нулю. Таким образом, из т2 элементов особенной матрицы проводимости только ( т - I) 2 элементов независимы. [17]
Оратимся теперь ко второму случаю, когда уравнение ( 7) неразрешимо. Как уже было отмечено, это может случиться только при особенной матрице А. Переписав последнее равенство в виде АТо 0 Го, убеждаемся, что нуль является собственным числом матрицы А. [18]
Это следует непосредственно из того, что закон образования элемента в i - й строке и в k - тл столбце произведения двух детерминантов совпадает с соответствующим правилом для произведения двух матриц. Мы назовем п X п-матрицу, детерминант который обращается в нуль, особенной матрицей. [19]
Преобразования векторов, рассмотренные выше, осуществлялись с помощью неособенных матриц. Возникает вопрос, что собой представляют подобные же преобразования, но осуществленные с помощью особенных матриц. [20]
Следует обратить внимание на один типичный случай возникновения особенной матрицы. Если прямоугольная матрица имеет больше строк, чем столбцов, то в результате ее умножения справа на транспонированную матрицу получается особенная матрица. [21]
В противоположность этому любая неособенная матрица над коммутативным кольцом является квадратной. Например, если в предыдущем примере элементы х считать коммутирующими между собой и рассмотреть элемент ( 6) над кольцом многочленов от xh то этот элемент будет нерасщепляемым, так как теперь он не имеет собственных разложений: рассматриваемые выше строка и столбец являются особенными матрицами. [22]
Следовательно, согласно лемме 1 матрица ( 2) пробегает все полуобратные к матрице А. Для квадратной и невырожденной матрицы полуобратная матрица определена единственным способом и совпадает с А-1. Более того, полуобратная к особенной матрице может быть невырожденной. [23]
Набор коэффициентов влияния дает ту же самую информацию о физических свойствах молекулы, что и соответствующий набор силовых постоянных. Матрицы коэффициентов влияния и силовых постоянных просто взаимно обратны в случае, если они неособенны, что всегда выполняется, когда имеют дело с независимыми координатами. Однако в этой связи важно рассмотреть набор координат, включающий зависимые координаты, и соответствующие особенные матрицы, так как это ведет к некоторым интересным свойствам инвариантности коэффициентов влияния, которыми не обладают обычные силовые постоянные. [24]
Как указывалось выше, решение системы линейных уравнений, а следовательно, и определение обратной матрицы могут иметь место только в случаях, когда определитель исходной матрицы ( или определитель из коэффициентов системы исходных уравнений) отличен от нуля. Такие матрицы называются неособенными. Квадратные матрицы, определитель которых равен нулю, называются особенными и обратных матриц не имеют. Поэтому при выполнении операций с особенными матрицами возникают дополнительные ограничения. [25]