Cтраница 2
В числовых кольцах и в полях произведение нескольких элементов может равняться нулю, только если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В произвольных кольцах это может оказаться неверным, например произведение двух ненулевых матриц может быть равно нулю. Если в некотором кольце аЪ О, причем а Ф - О, Ъ Ф - О, то а и Ъ называются делителями нуля. Если таких элементов в кольце нет, то кольцо называется кольцом без делителей нуля. [16]
Без труда можно показать, что [ ос ] является неприводимой, тогда и только тогда, когда можно с ненулевой вероятностью достигнуть любое состояние из любого другого состояния за конечное число шагов при использовании Q ( k) в качестве распределения на входе. Если [ а ] неприводима, то можно применить теорему Фробениуса, которая утверждает, что неприводимая ненулевая матрица с неотрицательными элементами имеет наибольшее положительное собственное значение К, соответствующее правому собственному вектору v ] и левому собственному вектору и, которые имеют положительные компоненты. [17]
Указание: Ck есть множество матриц, у которых все столбцы, кроме &-го, нулевые. При а irk ( k - целое) преобразования 1), 2) тождественные, А 1, все ненулевые матрицы порядка 2 собственные. [18]
Легко проверить, что Mt - правый идеал кольца R. Рассмотрим ненулевой правый идеал Я кольца R, лежащий в Mt. Правый идеал Н содержит ненулевую матрицу, скажем, А. [19]
Она уже имеет каноническую диагональную форму. Поэтому предположим, что G - ненулевая матрица. Среди всех эквивалентных ей матриц выберем ту, у которой элемент, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля и имеет наименьшую степень. Пусть матрица (1.1) является именно такой матрицей. [20]
Докажем, что операторов из стационарной подгруппы, принадлежащих корням, вещественные части которых больше или равны 2, нет. Предположим, что такие операторы в группе Gr существуют. Oj, X2 - корню о) 2, то оператор Х % [ Х19 X2 ] принадлежит корню ( DJ-I-OY, если же ai a2 не является корнем характеристического полинома, то [ Х19 2 ] 0, будут образовывать подалгебру / V, являющуюся нильпотентной. Тогда в присоединенном представлении этой подалгебры N элементам ее базиса будут соответствовать матрицы, у которых будут отличны от нуля только элементы, стоящие выше главной диагонали. Все корни характеристического полинома произвольной линейной комбинации матриц, соответствующих элементам базиса подалгебры / V, будут равны нулю, что означает невозможность выбора в подалгебре N оператора, которому в присоединенном представлении подалгебры L соответствовала бы матрица типа (40.1), имеющая характеристический полином с отличными от нуля корнями. Значит, для подгруппы с подалгеброй N все А 0 и на основании теоремы 1 § 40 можно утверждать, что эта подгруппа может быть рассматриваема как группа движений; но операторы группы движений могут быть только нулевого или первого порядка ( [170], стр. Представление алгебры называют точным, если нулевым элементам алгебры соответствуют ненулевые матрицы. [21]