Cтраница 2
U - действительное унитарное векторное пространство, то G - действительная и симметрическая матрица. [16]
Найти связь с тем фактом, что наибольшее собственное значение выпукло в пространстве действительных симметрических матриц ( ср. [17]
Если А е й - положительно полуопределенная симметрическая матрица, то, существует такая положительно полуопределенная действительная симметрическая матрица В, что BJ JB - J и В2 А. [18]
Процедура ritzit предназначена для отыскания максимальных по модулю собственных значений и соответствующих собственных векторов действительной симметрической матрицы. Это позволяет значительно экономить память. Если, например, матрица А получена при конечно-разностной аппрокси - мации линейного дифференциального уравнения в частных производных, то многие из ее строк одинаковы и имеют незначительное число ненулевых элементов. [19]
Все три процедуры tred I, / red 2, tred 3 позволяют привести действительную симметрическую матрицу AJ к симметрической трехдиагональной форме An j с помощью преобразования Хаусхолдера. [20]
В том случае, когда матрица AI симметрическая и трехдиагональная, процесс особенно прост. Поэтому произвольную действительную симметрическую матрицу целесообразно привести к трехдиагоналыюй форме с помощью преобразования Хаусхолдера. [21]
Предлагаемый алгоритм реализует построчный поиск максимального по модулю элемента в правом верхнем углу исходной симметрической матрицы. Алгоритм пригоден для любых действительных симметрических матриц. Обычно для этого требуется примерно 6 - 10 циклов, или приблизительно Зя2 - ь5п2 вращений Якоби. [22]
Для того чтобы уменьшить объем вычислений при реализации метода обрат-нон итерации, желательно иметь дело с матрицами, содержащими малое количество элементов. Поэтому предполагается, что произвольная действительная симметрическая матрица приведена к трехдиагональной форме, а действительные и комплексные неэрмитовы матрицы - к верхней форме Хессенберга. [23]
Теорема 24.17. Любая действительная симметрическая матрица ортогонально подобна некоторой диагональной матрице. Другими словами, для любой действительной симметрической матрицы А существует такая ортогональная матрица С, что С - А С В - диагональная матрица. [24]
Процедура eigen основана на обобщении метода Якоби для действительных симметрических матриц. Видимо, не существует такого обобщения, которое сохраняет все достоинства метода Якоби. Однако процедура cigen весьма компактна и дает результаты, точность которых определяется чувствительностью исходной матрицы. Процедура позволяет вычислять все собственные значения, а также левую или правую систему собственных векторов. Процедуру eigen следует использовать для матриц с действительными собственными значениями. [25]
Существует много способов нахождения собственных значений и векторов. Ниже рассмотрен итерационный способ, наиболее употребимый и удобный для действительных симметрических матриц. [26]
Существует много способов нахождения собственных значений и векторов. Ниже рассмотрен итерационный способ, наиболее употребимый и удобный для действительных симметрических матриц. [27]
Любая матрица при помощи элементарных преобразований может быть приведена к ступенчатой. Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Ранг действительной симметрической матрицы равен числу ее ненулевых собственных значений. [28]
Если все это принять во внимание, то алгоритмы метода обратной итерации становятся чрезвычайно сложными и должны, вероятно, содержать большое число параметров. Это существенно усложняет их использование. Кратные или очень близкие собственные значения обычны при работе с действительными симметрическими матрицами, а собственные значения неэрмитовых матриц, как правило, плохо обусловлены. Алгоритмы, приведенные ниже, учитывают эти обстоятельства. [29]