Cтраница 2
Заметим, что в данном случае матрица Л не какая угодно матрица, а вещественная симметричная матрица и В должна быть ортогональной матрицей. [16]
Так как d2f / dx dxj-d 2 ] / dxjdxi, то Я ( х) есть вещественная симметричная матрица. [17]
Если коэффициенты в системе (2.20) вещественны, то формы V и W в теоремах 26 и 27 можно выбрать просто квадратичными с вещественными симметричными матрицами. [18]
Вещественная симметричная матрица О всегда имеет линейные элементарные делители. [19]
Вещественная симметричная матрица О всегда имеет линейные элементарные делители. [20]
Определение столбца V сводится, как видим, к решению системы п линейных уравнений с п неизвестными. Поскольку вещественная симметричная матрица А и столбец Т могут быть произвольными, то система ( 7) может оказаться как совместной, так и несовместной. [21]
Билинейная форма, полярная к положительно определенной квадратичной форме, также называется положительно определенной. Аналогичная терминология переносится на матрицы. Например, вещественная симметричная матрица F называется положительно определенной, если F соответствует положительно определенной квадратичной форме. [22]
Теперь предельное равенство (43.7) и результаты теории возмущений из § 13 позволяют сделать важный вывод. Именно, для всех достаточно больших v диагональные элементы матриц Av будут близки с любой заданной точностью к собственным значениям матрицы А, а столбцы матриц Tv - к ее собственным векторам. Этот способ решения полной проблемы вещественной симметричной матрицы и называется методом вращений. [23]
Однако странным кажется, что симметричные комплексные матрицы ( в отличие от вещественных) никакими специфическими свойствами не обладают. А вот эрмитовы матрицы, или самосопряженные, определяемые условием А - А, где звездочка обозначает уже транспонирование плюс комплексное сопряжение всех элементов, служат естественным обобщением вещественных симметричных матриц, обладая основными свойствами, присущими последним. [24]
Если по условию Ik является выпуклым функционалом относительно оптимизируемых параметров, то матрица А должна быть положительно определенной. Однако ошибки вычислений могут привести к тому, что элементы матрицы А будут определены с погрешностями и в итоге матрица А может не удовлетворять условию положительной определенности. Возникает задача сглаживания, исправления матрицы А путем малых вариаций ее элементов. Эта задача может быть сформулирована в терминах инверсной чувствительности собственных значений матрицы А. По условию А - вещественная симметричная матрица, а значит, и все ее собственные значения вещественны. [25]