Ступенчатая матрица

Cтраница 2

Теперь для доказательства теоремы замечаем, что, согласно лемме 2, для данной матрицы А имеем Й ( Л) Й ( 5), где S - ступенчатая матрица, к которой согласно теореме 1.1.1 можно перейти от А элементарными преобразованиями строк. [16]

По Уоллесу и Кацу, ненулевыми следует считать столько первых строк ступенчатой матрицы оптических плотностей, сколько ее первых диагональных элементов более чем в три раза превосходят по абсолютной величине соответствующие диагональные элементы ступенчатой матрицы погрешностей. Использование стратегии полного упорядочивания позволяет уменьшить накопление погрешностей округления в процессе преобразования матрицы и свести к минимуму возрастание элементов преобразованной матрицы. [17]

По Уоллесу и Кацу, ненулевыми следует считать столько первых строк ступенчатой матрицы оптических плотностей, сколько ее первых Диагональных элементов более чем в три раза превосходят по абсолютной величине соответствующие диагональные элементы ступенчатой матрицы погрешностей. Использование стратегии полного упорядочивания позволяет уменьшить накопление погрешностей округления в процессе преобразования матрицы и свести к минимуму возрастание элементов преобразованной матрицы. [18]

По Уоллесу и Кацу ненулевыми следует считать столько первых: строк ступенчатой матрицы оптических плотностей, сколько ее первых диагональных элементов более чем в три раза превосходят по абсолютной величине соответствующие диагональные элементы ступенчатой матрицы ошибок. Использование стратегии полного-упорядочивания позволяет уменьшить накопление ошибок округления в процессе преобразования матрицы и свести к минимуму возрастание элементов преобразованной матрицы ошибок. [19]

Процесс повторяют до тех пор, пока все элементы ниже главной диагонали не станут равны нулю. В результате получают ступенчатую матрицу, число ненулевых строк которой равно рангу исходной матрицы А. [20]

Любая матрица при помощи элементарных преобразований может быть приведена к ступенчатой. Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Ранг действительной симметрической матрицы равен числу ее ненулевых собственных значений. [21]

Те же самые рассуждения применимы и к столбцам матрицы U, а именно столбцы с ненулевыми ведущими элементами линейно независимы. Аналогичные рассуждения применимы фактически к любой ступенчатой матрице при условии, что мы рассматриваем только строки ( или столбцы) с ненулевыми ведущими элементами. [22]

После применения метода исключения к матрице А мы получаем ступенчатую матрицу U. Пространство строк матрицы U очевидно: его размерность равна рангу г, а базис-это ее г ненулевых строк. К счастью, его столь же легко связать с матрицей А. [23]

Следовательно, векторы-строки матрицы А линейно зависимы, а значит, линейно зависимы строки матрицы А, которая получается из А перестановкой столбцов. Однако это противоречит условию линейной независимости системы векторов-строк матрицы А, и ступенчатая матрица В не может иметь в последней строке только нули. [24]

При определении ранга матриц высокого порядка приведенные выше приемы связаны с весьма трудоемкими вычислениями. В этих случаях значительно проще определять ранг матриц путем приведения их к эквивалентным ступенчатым матрицам. [25]

Так как исключения Гаусса - Жордана в практических вычислениях с квадратными матрицами требуют больше времени, а ленточная структура матрицы А не сохраняется в матрице Л 1, то получение такой специальной ступенчатой формы матрицы требует слишком много операций, чтобы ее использовать на компьютере. Тем не менее с теоретической точки зрения она важна как каноническая форма матрицы А: вне зависимости от выбора элементарных операций, включая перестановки строк и деление строк на константу окончательная ступенчатая матрица, приведенная по строкам, всегда одна и та же. [26]

Обозначим через А матрицу m - го порядка, расположенную в левом верхнем углу матрицы А, и через А % - матрицу порядка п - т, расположенную в правом нижнем углу. Матрицы А и АЧ называются диагональными клетками ступенчатой матрицы А. [27]

Порождающее множество и базис в R2. [28]

Четыре ее столбца, как всегда, порождают пространство столбцов, но не являются линейно независимыми. Существует много способов выбора базиса в этом пространстве, но мы предпочитаем выбирать его специальным образом: столбцы, содержащие ведущие элементы ( в данном случае первый и третий, соответствующие базисным переменным), составляют базис пространства столбцов. Мы отмечали в утверждении 2F, что эти столбцы линейно независимы, но легко видеть, что они, кроме того, порождают пространство столбцов. Заметим также, что первые две строки матрицы U ( и вообще ненулевые строки любой ступенчатой матрицы) образуют базис ее пространства строк. [29]

Страницы: 1 2