Cтраница 1
Мезера ( который, помнится, восхищался тем, что у немцев никогда не существовало свободы, но зато воздух делает крепостным) и ему подобных. Например, известное место у Тацита: arva per annos mutant et superest ager, что означает: они меняют ( по жребию, откуда sortes во всех позднейших Leges Barbarorum 526) поля ( arva), и, кроме того, остается общинная земля ( ager в противоположность arva как ager publi-cus), Гримм и др. переводят следующим образом: они возделывают каждый год новые поля, и все же остается еще ( невозделанная) земля. [1]
Исследование Мезера существенно опирается на предшествующую работу Мак-Гехи [22] о регуляризации особенностей в задаче трех тел при движении по прямой ( в связи с чем публикация [21] является совместной. Используемая техника представляет собой комбинацию техники исследования квазислучайных движений Алексеева и регуляризации особенностей типа проведенной Мозером в задаче двух тел одновременной регуляризации всех особенностей на поверхности постоянной энергии. [2]
Тогда из результата Мезера [1 ] следует также, что Т - накрытие. [3]
Первая импликация следует из теоремы Мезера. [4]
Определение, которое мы дали, принадлежит Мезеру и является сравнительно простым. Во всяком случае это определение позволяет смещать начало координат для каждого и с помощью трансляции. Общий случай разобран Вассерманом. [5]
Следующая теорема первоначально была доказана Страуссом [74] для аналитически неприводимых особенностей и почти всех колец Р, а затем распространена Мезером [60], Игузой [32] и Лезером [52] на общий случай. [6]
Благодаря энергичным и настойчивым усилиям французского тополога Ренэ Тома оба указанных подхода слились в изящной и нетривиальной математике, развитой многими математиками, в первую очередь Мальгранжем, Мезером, Арнольдом, причем в работах последнего установлены глубокие связи теории с другими областями математики. Авторы делают необходимые исторические замечания, но, может быть, нелишне будет упомянуть уже здесь, что основные идеи, сплавом которых оказалась теория катастроф, берут начало в работах X. Гротендик) и что вся теория в сущности - далеко продвинутая глава общей теории динамических систем, которой интенсивно занимаются в последние десятилетия. [7]
Мезер заметил, что если М компактно, то это множество Т содержит открытое плотное множество с теми же свойствами - см. предложение 2 в § 6 указанной выше работы Мезера. [8]
Для любого 8 () - модуля А легко определить & () модуль А, и тогда можно будет сформулировать теорему типа теоремы Мальгранжа даже в более общей ситуации, рассмотренной Мезером. [9]
Далее, можно надеяться, что Ь) на открытом плотном множестве векторных полей функцию Ляпунова можно локально выбирать так, что она будет гладко зависеть от векторного поля, с) теория Тома - Мезера топологической устойчивости отображений может быть справедлива в этой ситуации в том смысле, что векторные поля с функциями Ляпунова, которые топологически устойчивы при локальном гладком выборе, образуют открытое плотное множество. [10]
Цель этой главы - доказать приведенный ниже результат. Это один из многих результатов, полученных Мезером в этой области, причем большинство из них значительно сильнее. [11]
Ранние исследования Хасслера Уитни привели Тома к формулировке ряда гипотез о таких особенностях; они были затем доказаны самим Томом, Мальгранжем, Мезером и другими математиками. В результате, после данных Мезером обобщений, сформировался новый предмет, носящий теперь название теории особенностей; в основном те же идеи были независимо развиты В. И. Арнольдом, и благодаря перекрестному опылению возникло цветущее поле исследований. Таким образом, с математической стороны элементарная теория катастроф является одновременно частью и предшественником теории особенностей. [12]
В нашей книжке [25] описаны некоторые мотивировки без доказательств, но так как то была предшественница настоящей книги, лучше ссылаться на гл. У Тротмэна и Зимана [22] изучаются стратификации, используемые для получения форм глобально типичных катастроф в коразмерностях не больших 5; у Брекера и Ландера этот материал опущен. Действительно трудные орешки - статьи Мезера и Арнольда ( см. список ниже); публикации последнего более интересны тем, кто желает применять теорию. [13]
Ранние исследования Хасслера Уитни привели Тома к формулировке ряда гипотез о таких особенностях; они были затем доказаны самим Томом, Мальгранжем, Мезером и другими математиками. В результате, после данных Мезером обобщений, сформировался новый предмет, носящий теперь название теории особенностей; в основном те же идеи были независимо развиты В. И. Арнольдом, и благодаря перекрестному опылению возникло цветущее поле исследований. Таким образом, с математической стороны элементарная теория катастроф является одновременно частью и предшественником теории особенностей. [14]
В этом случае тоже имеются явные условия конечной определенности, которые формулируются в терминах вложения конечномерных векторных пространств. Эти условия анологичны тем, которые приводились выше, и мы не будем их больше обсуждать в этой книге. Метод доказательства тот же, что представленный выше для теоремы Мезера. [15]