Cтраница 2
В равенстве ( 3) фигурирует знаменитый модуль непрерывности Леви для броуновских траекторий; если бы мы хотели только доказать существование меры Винера, мы могли бы облегчить себе жизнь, выбрав более простые компакты. [16]
С этого места предполагаем, что корреляционный оператор этой меры является ядерным; как будет видно из дальнейшего, ядерность корреляционного оператора является критерием счетной аддитивности меры Винера. [17]
Тройка ( X, Я, ц), где X - сепарабельное банахово пространство с гауссовой мерой li, называется абстрактным пространством Винера, а ( г - абстрактной мерой Винера. [18]
& совпадает с мерой Винера w ( с корреляционным оператором В), то и продолжения этих мер совпадают; именно поэтому определение меры wl можно рассматривать как еще одно определение меры Винера. [19]
В продолжается по линейности на линейные комбинации таких функционалов. Непосредственно проверяется, что соответствующая квадратичная форма неотрицательна, Тогда соответствующая мера Pw на пространстве траекторий называется мерой Винера. [20]
Таким образом, мора на пространство непрорывных кривых в Т М, заданная процессом вою -, ость мера Винера относительно этого скалярного произведения. Очевидно, что процессы в. Теперь утверждение теоремы следует из инвариантности меры Винера относительно действия ортогональной группы. [21]
Имеется несколько различных способов доказательства существования меры Винера. [22]
Возьмем, например, в качестве X пространство всех ограниченных функций с топологией поточечной сходимости и наделим его мерой Винера. Тогда А - абсолютно выпуклое секвенциально замкнутое, но не замкнутое множество. Линейная оболочка А - банахово пространство относительно нормы рА, имеющее меру 1 относительно радоновского продолжения меры Винера на X. Таким образом, рА - измеримая полунорма, не являющаяся полунепрерывной снизу. [23]
Просто с самого начала соотнесем множеству С непрерывных функций меру 1, Затем мы должны снова провести приведенные выше рассуждения и убедиться в том, что полученная мера является разумной. Это можно сделать, и в результате мы получаем меру, которая в настоящее время известна под названием меры Винера) и которую ввел первым Норберт Винер несколько иным способом. [24]
Третья возможность предоставляется теорией Гросса абстрактных виперовских пространств. Имеются доказательства ( см. [101]), использующие понятие радонифицирующего оператора. Вместо теоремы Колмогорова можно использовать приближение броуновской траектории случайными ломаными ( см., например, [10]), а затем соображения слабой компактности. Разумеется, здесь перечислены не все возможности доказать существование меры Винера. Винера предложили иную модель диффузии, соответствующую гауссовскому случайному процессу, носящему теперь их имена. В последующие годы был достигнут заметный прогресс в унификации теории, выяснены связи между гауссовскими распределениями в функциональных пространствах и гауссов-скими мерами на банаховых и локально выпуклых пространствах. [25]
Здесь уместно отметить, что одна из фундаментальных идей теории гауссовских мер состоит в том, что всевозможные центрированные радоновские гауссовские меры представляют собой различные реализации одной и той же гауссовской меры - счетного произведения стандартных нормальных распределений на прямой. Эта мера 7 определена на пространстве К00 всех вещественных последовательностей с его естественной топологией. Конечно, существуют проблемы, в которых редукция к IR00 бесполезна. Например, так обстоит дело во многих задачах, связанных со свойствами выборочных траекторий гауссовских процессов. Упомянутая выше единственная гаус-совская мера часто встречается также в облике меры Винера на пространстве непрерывных траекторий; при этом возникают очень интересные объекты, не имеющие естественных аналогов в других изоморфных представлениях. [26]