Cтраница 2
Найти геометрическое место прямых AM, где А - точка на экваторе, от которой отсчитываются прямые восхождения. [16]
Действительно, проведем через эту прямую какую-нибудь плоскость. Последняя пересекает геометрическое место прямых по кривой второго порядка. Следовательно, данная прямая пересекает его в тех же точках, в которых она пересекает кривую второго порядка. Но таких точек не может быть больше двух. [17]
АВ делится точкой Р ( внутренним или внешним образом) в отношении т: п, где in и п-два данных отрезка. Если точка В лежит, кроме того, на шаре S2, то она лежит на линии пересечения шаров У и Sz. Таким образом, геометрическое место прямых РВ существует и есть, вообще говоря, конус с круговым основанием, если шары S и S2 пересекаются. [18]
Вся совокупность нулевых прямых есть множество прямых в пространстве, подчиненных одному только условию, и, следовательно, зависящее от трех переменных параметров. В настоящем случае прямые комплекса, проходящие через данную точку О пространства, будут лежать все в одной плоскости, так как, будучи нулевыми прямыми, они должны быть все перпендикулярны к перемещению той точки тела, которая совпадает с О. Плоскость, являющаяся геометрическим местом нулевых прямых, проходящих через О, называется нулевой плоскостью или полярной плоскостью точки О. [19]
Скорости точек тела, лежащих вдоль ОК, направлены перпендикулярно к OZ, и точки эти вращаются с указанной постоянной угловой скоростью. Эту угловую скорость, разумеется, следует отличать от той переменной скорости, с которою геометрическая плоскость ZOI вращается вокруг оси OZ. Так как неизменяемая прямая OZ всегда перпендикулярна ко всем последовательным положениям ОК в теле, то геометрическое место прямых ОК в теле есть конус, взаимный инвариантному конусу. [20]
Такие прямые называются асимптотами поверхности. Совокупность всех асимптот поверхности составляет асимптотический конус. Прямая, пересекающая поверхность в двух сливающихся точках, называется касательной прямой к поверхности, и общая их точка называется точкой прикоснове-н и я. Геометрическое место прямых, касающихся поверхности в одной и той же точке, есть плоскость - касательная плоскость к поверхности в рассматриваемой точке. [21]
Пусть прямая D пересекает в точке О ребро двугранного угла и образует равные углы с его гранями. Следовательно, MA MB и точка М лежит в бпссектральной плоскости двугранного угла. По тем же соображениям и обратно, любая прямая D, проходящая через точку О и лежащая в одной из биссектральных плоскостей углов, образованных данными плоскостями, образует с данными плоскостями равные углы. Итак, геометрическое место прямых, проходящих через одну из точек О линии пересечения данных плоскостей и образующих с ними равные углы, есть совокупность двух биссектральных плоскостей. [22]
Итак, искомое геометри-леское место обладает тем свойством, что любая прямая, соединяющая две его точки, целиком принадлежит этому геометрическому месту. С либо является прямой линией, либо является плоскостью, либо состоит из всех точек пространства. Но искомое геометрическое место точек содержит три точки, не лежащие на одной прямой; с другой стороны, в пространстве существуют точки, к нему не принадлежащие. Таким обра - 8ом, предложение, сформулированное в упражнении 447, доказано. Из самого хода доказательства вытекает, что геометрическое место прямых, перпендикулярных к данной прямой и пересекающих ее в некоторой точке, есть плоскость. [23]